l1, co et coo

[invite02308894]

Bonsoir à tous,
j'ai un execice à rendre et j'aimerais votre aide si possible ou si vous connaissez une référence car je suis vraiment perdu je rencontre beaucoup de difficultés.
On désigne par l'ensemble des suites complexes qui convergent vers 0 et par l'ensemble des suites complexes ayant un nombre fini de termes non nuls.
a) Montrer que est un espaces vectoriel sur R et que est un sous-espace vectoriel strict de .
b) Pour dans , on pose . Vérifier que est une norme sur et montrer que est dense danse dans .
c) Montrer que est complet et que ne l'est pas.
d) On note l'ensemble des suites complexes sommables. On munit de la norme ; pour
On fixe et on note l'application de vers R: ;
i) Montrer que est une forme linéaire continue sur et calculer sa norme.
ii) Montrerque est un isomorphisme isométrique de sur
Merci d'avance.
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[invite6710ed20]

Bonjour,
C'est long mais je peux commencer à donner des indications...

1. Que C_0 et C_00 soit des sev de l'ev des suites ds \C , c'est facile à vérifier. De même pour montrer que N=||.||_\infty.

Indications écrire les définitions.

2. Densité de C_00 ds C_0:
Soit U=(u_1,u_2,....,u_n,...) ds C_0 fixé. Pour tout p\in N, on considéré la suite U_p qui à les mêmes termes que U jusque u_p et puis 0 après
c'est à dire U_p=(u_1,u_2,...,u_p,0,0,..... .).
Bien sûr U_p est dans C_00. Ensuite on calcule N(U-U_p) et on montre que N(U-U_p) tend vers 0

[invite02308894]

Rebonjour,
si j'ai bien suivi votre indication pour la question2, j'aurais donc N(U-U_p)=N(0,0,...,u_p+1,...,u_n,. ....)=sup_n>p(u_n) et donc U\in c_0 entraîne la convergence de U_p vers U en norme sup?? Donc c_00 est dense dans c_0.
Et si c'est correct pourrais obtenir obtenir plus d'indications pour la suite??
Merci bien.

[invite23cdddab]

Il est impératif (à ce stade de ton apprentissage) que tu rédiges rigoureusement tes réponses à ces questions. Par exemple tu dis " N(U-U_p)=sup_n>p |u_n| donc U\in c_0 entraîne la convergence de U_p vers U en norme sup", je te dis c'est vrai, mais prouve le moi

Pour le c), prend une suite de Cauchy (d'éléments de c_0, donc de suites !) pour la norme infinie, et montre qu'elle converge vers une certaine suite u . Ici l'idée c'est de construire la suite limite. Pour ça, tu peux regarder ce qui se passe pour la suite (qui va alors converger vers u_0)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02308894]

Rebonjour,
Effectivement vous avez raison, je suis presque toujours pénalisé à cause de mon manque de rigueur.
j'avoue avoir du mal à débuter la question c).

[invite23cdddab]

On va le faire par étapes :

Que veux dire "c_0 est complet"? Que dois tu donc montrer pour prouver "c_0 est complet" ? Comment va tu donc commencer?

[invite02308894]

c_0 est complet si et seulement si toute suite de Cauchy converge dans c_0. Donc si on se donne une suite de Cauchy on doit montrer qu'elle est convergente dans c_0. On va commencer par choisir une suite de Cauchy.

[invite23cdddab]

Choisir n'est pas le terme approprié. On l'utilise plutot dans le cas ou "il existe blabla", donc on choisi un blabla. Si on veux "pour tout blabla", on dit "soit blabla"

Mais sinon oui, on commence par

Soit une suite de Cauchy de

Qu'est ce que ça veux dire formellement que est une suite de Cauchy? (avec epsilon et compagnie)

[invite02308894]

est une suite de Cauchy si pour tout

[invite02308894]

est une suite de Cauchy si pour tout je voulais dire.

[invite23cdddab]

Alors, petite remarque sur la notation que j'ai employée : comme il s'agit d'une suite de suite, il va y avoir deux indices, et ça peut être perturbant. Là j'ai décidé de mettre l'indice de la suite de Cauchy en haut (j'aurai pu faire autrement) :

est la n-ième suite de ta suite de Cauchy. Ses valeurs sont : etc...


Donc ce que tu veux dire, c'est



Est-ce que ce point de notation est clair ?

Maintenant, qu'est ce qui se passe si on ne regarde plus les suites en entiers, mais juste leur premier (ou i-ème élément). Qu'est ce que tu peux dire de la suite

[invite02308894]

Bonsoir à vous,
à vrai dire je suis perdu avec les deux indices là.