File d'attente M/M/2

[invite721acf3f]

Bonjour, je travail actuellement sur la théorie des files d'attente et j'ai voulu me frotter a un problème concret.
Malheureusement, malgré la schématisation de mon problème je n'arrive pas a le résoudre.



J'ai divisé mon problème en deux plus petits, le premier me semble assez facile mais je ne sais pas du coup comment m'y prendre pour l'un comme pour l'autre !
Je souhaite déterminer :
- le nombre moyen de clients en attente
- le temps moyen de séjour dans le système
- le temps moyen d'attente

Pour le premier je sais que la notation de Kendall de la file est M/M/2.

La probabilité qu’il y ait i clients dans la file : avec

nombre moyen de clients dans la file :

Par contre je n'arrive pas a calculer le temps d'attente moyen :/

Cordialement, Echec.
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[Amanuensis]

Voir les formules données dans tous les textes sur la théorie des files d'attente, par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...es_d%27attente

[invite721acf3f]

D'accord, en utilisant le formulaire ci-dessus pour le premier problème, on obtient :















Mon A est-il correct ?

Pour mon problème global, si je souhait déterminer le temps d'attente moyen il me reste plus qu'a sommer le temps d'attente dans les deux sous systèmes ?

[Amanuensis]

D'accord, en utilisant le formulaire ci-dessus pour le premier problème

Le dessin laisse penser à deux files d'attente avec séparation préalable des arrivées. M/M/2 est une seule file d'attente, avec la tête de la fil servie dès que l'un des deux serveurs est libre, et les deux serveurs de propriétés identiques. Ici il y un petit problème si µ1 est différent de µ2. Je ne sais pas si on peut appliquer M/M/2 dans ce cas.

A/S ?

Mon A est-il correct ?

Il me semble. Les paramètres sont en nombre par unité de temps, et s'additionnent si parallèle. (Sous réserve de la remarque précédente.)

Pour mon problème global, si je souhait déterminer le temps d'attente moyen il me reste plus qu'a sommer le temps d'attente dans les deux sous systèmes ?

Je ne sais pas. La difficulté est que le flux d'arrivée pour le second système n'est pas poissonien (1). Je ne me rappelle plus si on peut ou non travailler avec les moyennes.

(1) Quand les serveurs du premier système sont saturés (forte charge), le flux de sortie est poissonien de paramètre celui de service, mais quand ils sont inoccupés (très faible charge), le flux de sortie a pour débit moyen le paramètre d'entrée.

[A voir en vidéo sur Futura]