Probabilité dans un espace d'état fini.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

J'aimerais vous demander qu'est ce qui différencie les deux définitions suivantes liées à la notion de probabilité :

Définition :

On considère une expérience aléatoire et un événement pour cette expérience.
Notons le nombre de fois où l'expérience est réalisé.
Notons le nombre de fois où est réalisé.
Par définition :
est la fréquence empirique de réalisation de dans l'expérience répétée fois.

Définition :

Si est une probabilité uniforme, alors :
est l'espace des états.
est un événement aléatoire.

Comment établir que ces deux définitions coïncident ?
Quelle est la définition la plus pratique parmi ces définitions, dans le calcul des probabilités et pourquoi ?

Merci d'avance.
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[invite9dc7b526]

Le problème avec la définition 1 c'est que tu parles d'une "expérience aléatoire" mais sans donner sa loi (puisque tu la définis après coup). Donc on ne sait pas bien ce que c'est.

[gg0]

Bonjour Anonyme007.

La première définition est ce qu'on appelle la "définition fréquentiste" de la probabilité. Elle a été proposée plusieurs fois, entre autres par Von Mises au début du vingtième siècle. Elle a un gros inconvénient, on ne connaît la valeur d'une probabilité qu'à l'issue d'une infinité d'expériences, donc concrètement jamais. Sans compter qu'elle admet l'existence de cette limite. Or elle est construite sur un théorème des probabilités (la loi des grands nombres) qui est soumis à certaines conditions, sans lesquelles la limite peut ne pas exister. Elle n'est généralement proposée que pour des raisons pédagogiques, ce n'est pas vraiment utilisable mathématiquement.
La deuxième définition est une sorte de tautologie, puisque tu dis "probabilité uniforme", c'est à dire que tu présuppose que chaque état a la même probabilité, et que la formule est simplement celle des probabilités dans un cas d'équiprobabilité.

En fait, on a trouvé une définition des probabilités qui permet de faire de tes deux propriétés des théorèmes; c'est l'axiomatique de Kolmogorov, qui est maintenant suivie par tout le monde. Dans le cas fini, on associe à tout élément de l'univers le singleton et sa probabilité avec les conditions


Et on peut montrer qu'on définit ainsi sur une probabilité au sens de Kolmogorov. Ta deuxième formule est automatiquement vérifiée. Pour la première, il faut pas mal de travail pour justifier l'égalité.

Cordialement.