Interprétation du groupe Ext pour les faisceaux ?

[invite5357f325]

Bonjour,
soient F un faisceau sur X une variété algébrique (avec des hypothèses sympa), on peut regarder le foncteur qui est exact à gauche, et prendre son foncteur dérivé à droite et on obtient . L'observation permet de calculer ce foncteur comme étant . Déjà j'espère que je n'ai pas trop dit de bêtises/me suis trompé de sens.

Seulement il me semble que je n'ai pas une très bonne intuition sur ce que représente un élément de ce groupe. Il me semble qu'un élément devrait correspondre à une suite exacte , et deux éléments sont égaux si et seulement si il existe un isomorphisme de suites exactes avec les deux fléches verticales qui sont l'identité.
Or dans plusieurs textes (je n'en ai pas sous la main mais je peux en trouver un si besoin je pense) j'ai vu l'argument suivant revenir :
Soit une droite dans . Pour tout , les extensions définies par sont isomorphes.

J'avoue ne pas comprendre. Si par là ils veulent dire isomorphes en tant qu'extension alors je n'ai pas la bonne interprétation de et je veux bien connaître la bonne interprétation. Si j'ai la bonne interprétation de et qu'ils veulent juste dire isomorphes en tant que faisceaux, je voudrais bien si possible une preuve de l'affirmation qu'ils donnent. Et question bonus comme est un espace vectoriel si quelqu'un veut bien m'expliquer à quoi ressemble concrètement l'addition sur , même pour par exemple j'apprécierais beaucoup (un cas simple comme serait déjà super).

Merci d'avance pour toute explication, et désolé si la question est mal posé/trivial mais je ne vois pas trop comment interpréter ces groupes (même si étrangement les calculer ne devrait pas être si dur vu qu'on peut les exprimer comme un groupe de cohomologie).
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[invite5357f325]

Je crois que j'ai compris une partie : sauf erreur c'est vraiment spécifique à . En effet par le théorème de Grothendieck tout fibré s'écrit de manière unique comme somme de . En particulier, si sont donnés, l'ensembles des faisceaux qui va dans la suite exacte est discret et donc si est une droite de par continuité, pour tout , on a un isomorphisme . En revanche l'application varie et il n'y a pas d'isomorphisme d'extension vers si . Est ce que c'est correct ? Si oui peut-on expliciter le morphisme pour par exemple , et la droite qui passe par l'extension qui correspond à la suite tautologique ?? Merci d'avance.

[0577]

Bonjour,

si L est une droite Ext^1(F,G), alors pour tout t,s différents de 0, les objets obtenus par les extensions correspondantes sont isomorphes: c'est un fait général, il suffit d'absorber le facteur s/t par un automorphisme scalaire de F ou G (les extensions correspondantes ne sont pas isomorphes parce que dans la définition de la notion d'isomorphisme d'extensions, on veut l'application identité entre F et F, et G et G, et non-pas un automorphisme plus général).

[invite5357f325]

Bonjour 0577,
merci de ta réponse ! Malheureusement je ne suis pas très familier avec Ext, est ce que tu pourrais détailler un peu plus, peut-être sur un exemple ? Si L est une telle droite et g : A -> G est le morphisme qui corresponds à 1 (avec ker g = F) est ce que ça veut dire que le morphisme correspondant à t va être tg ? Si oui comment je peux voir ça ? Je connais vraiment très peu d'algèbre homologique (je sais juste qu'on a une suite exacte longue et qu'on peut calculer les Ext aussi en prenant une résolution projective de F puis en prenant Hom(F,-) de la résolution).

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Sais-tu comment associer une extension de par à un élément de ? Parce que j'ai l'impression que c'est ce qu'il te manque pour comprendre.

C'est pas bien sorcier à vrai dire. On prend une extension et regarder la suite exacte longue qui donne
et on a un élément distingué dans qui est l'identité et on regarde son image dans . On voit pas bien ce qu'on pourrait faire d'autre me diras-tu.
A partir de là, en utilisant la naturalité et la linéarité du connectant c'est facile de voir à quoi correspond la multiplication par un scalaire en terme d'extensions.

Soit dit en passant, il est faux en général que . Il faut des hypothèses sur les faisceaux. Du genre un localement libre et l'autre cohérent.

[invite5357f325]

Ok super effectivement c'est tout simple ! Et merci pour ta remarque sur , par exemple donne un contre-exemple sauf erreur ?

[AncMath]

Que notes tu exactement ?

[invite5357f325]

L'anneau des fonctions d'un point i.e celui qui va dans la suite exacte

J'essayais de trouver un contre exemple à ce que j'avais écris plus haut et j'ai pris deux faisceaux qui n'étaient pas localement libre pour voir ce que ça donnait. Il me semble que . D'un autre côté je ne sais pas qui est je dirais que c'est et du coup ça donnerait que parce que le support de et sont disjoints donc le produit tensoriel est zéro.

[AncMath]

Si et sont distints, alors il n'y a pas de morphismes de faisceau non nul entre et . Regarde les tiges !
Et tu joues un peu avec le feu en écrivant pour ce que tu devrais noter et qui n'est pas la meme chose !

[invite5357f325]

Ah oui bien sûr évidemment. Du coup les deux côtés sont zéros dans mon exemple, donc ça ne marche pas ? Aurais-tu un exemple ?

[AncMath]

Il y a des exemples arithmétiques trouvables, typiquement en jouant avec des faisceaux de torsion sur . Pas la peine d'aller chercher trop loin.

[invite5357f325]

Ok merci beaucoup pour l'aide. Juste un dernier point : pour moi O(-p) sont les fonctions qui ont au moins un zéro d'ordre 1 sur p, et bah je dirais que O([-p]) c'est la même chose, est ce que O(-p) veut dire autre chose ?

[AncMath]

Oui, O(-[p]) c'est bien le faisceau des fonctions rationnelles qui s'annule au moins à l'ordre 1 en p. Mais si tu le notes O(-p) alors ca ressemble beaucoup à...O(-p) c'est à dire . Mais ça doit juste être le fait que je suis trop encroûté dans mes notations personnelles, t'inquiète pas !

[invite5357f325]

Ok super j'ai compris, j'ai eu peur de vraiment avoir loupé un truc fondamental ^^ Merci encore pour tout !

[invite5357f325]

Et juste pour être sûr (comme je suis intéressé plutôt par la géométrie sur les nombres complexes) si je prends est ce que si F,G sont cohérent alors la formule marche ?

[AncMath]

Non, ca ne doit pas être vrai en général. Je peux réfléchir à un contre exemple géométrique si tu veux.

[invite5357f325]

Super, oui avec plaisir !

[AncMath]

Je subodore que pour et avec deux diviseurs de Weil qui ne s'intersectent pas transversalement dans ca ne devrait pas marcher, ou bien sur est l'immersion fermée avec muni de sa structure réduite et pareil pour j. Ton de plus haut, mais en remplaçant p par Z.

[invite5357f325]

Ok merci beaucoup je vais réfléchir à ça.

[AncMath]

Là-aussi il est pas idiot d'etre faignant. Regardons une intersection franchement pas transversale, la self-intersection d'un point avec lui meme. Et faisons ça sur la droite affine, histoire de pas avoir de souci au moment de prendre les sections globales.

Regardons donc vu comme -module par et comparons à .
Bon ce qui est sur c'est que donne un morphisme de -module de dans lui même. Bon, ce truc là n'est pas nul, donc.

Maintenant essayons de voir la tête d'un morphisme de -module de dans . Il est clair qu'un tel morphisme est nul, si est un tel morphisme alors donc et donc est le polynôme nul. C'est pas vraiment une surprise y a pas de morphisme non nul d'un module de torsion dans un module libre.

Donc est nul, et donc pas isomorphe à .

[invite5357f325]

Super !!
Je sais où poster si j'ai d'autre questions

[AncMath]

Comme j'aime bien causer, je me permet d'insister sur qqch d'assez important qui se passe ici et qui est passé sous silence dans ton premier message.

Y a quand même une chose qu'on a envie de faire quand on regarde deux faisceaux abéliens et c'est de regarder le groupe des morphismes de faisceaux de dans mais on à aussi envie de définir un faisceau qui serait le faisceau des morphismes de faisceaux.
Là on réflechit deux minutes et on voit deux candidats
1) .
2)
Et en fait on se rend compte apres deux minutes de plus que seule la 2nde définition marche parce qu'on ne voit pas bien comment définir la restriction sinon. Dommage, elle semble plus compliquée. Mais ensuite on se rappelle qu'on va travailler dans des catgéories de faisceaux quasi-cohérents et que donc ne sera rien d'autre que le faisceau associé aux modules quand est affine et donc on est un peu rassuré.

Il y a qqch de tenant à faire maintenant c'est de regarder les foncteurs dérivés droits de ce , il est en effet trivialement exact à gauche d'apres ma précédente remarque. Et finalement notre brave n'est rien d'autre que le composé de et de .

Tu peux donc te demander si est isomorphe à en tant que faisceau, ce qui est une question plus fine que celle que tu poses et mon message d'avant te dit déjà que non. Néanmoins sous des hypothèses raisonnables de platitude et de cohérence e.g localement libre et cohérent sur une base noethérienne, le résultat est vrai.

Y a aussi une question qui devrait te titiller : est-ce qu'on peut calculer en fonction de la cohomologie à coefficients dans et de et là tu devrais avoir la migraine pendant quelques jours si tu n'as jamais vu ce genre de question, en te rendant compte qu'il est assez difficile d'organiser l'information.
Heureusement Grothendieck avait suivi les cours de Cartan, et a compris la réponse. C'est ce qu'on appelle la suite spectrale des Ext.