développement en fraction egyptiennes

[invite03ef28af]

Bonjour,
voici mon problème:
soient x dans ]0,1] et (an) une suite d'entiers naturels tels que :
a_n est le plus petit entier naturel k tel que :

on a alors et

et

on veut alors montrer que x est rationnel si et seulement si (a_n) vérifie a partir d'un certain rang.
J'ai réussi a prouver le sens <= en supposant l'egalité a partir d'un certain rang en utilisant le suite et

mais je n'arrive pas a prouver le sens direct je ne vois pas en quoi l'hypothese de rationnalité de x sert.
Des idées ?
Merci
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[invite452d5a24]

Bonjour,

on veut alors montrer que x est rationnel si et seulement si (a_n) vérifie a partir d'un certain rang.

Il me semble que ce n'est pas vrai, prend x=1 qui est rationnel et qui à partir d'un certain rang à tous ces élements nuls et donc ne vérifiant pas ta relation de récurrence.

Bonne journée.

[invite03ef28af]

je ne comprends pas votre contre exemple. Cette équivalence est bien vraie (puisqu'il est demandé de la montrer)