fractions égyptiennes

[inviteb48ae572]

Salut.
Sur un exercice j'ai la propriété suivante: H(n): le nombre 1 peut s'écrire comme la somme de n fractions égyptiennes 2 à 2 distinctes.

Oneme demande d'une part de démontrer que H(4) est vraie c-à-d que sachant que w,x,y et z sont des entiers naturels non nuls.
D'autre part je dois démontrer par récurrence sur n que H(n) est vraie pour tout n ≥ 3.
j'ai l'écriture 1=(1/q₁) +(1/q₂) +.....+ (1/q_n-1) qui est celle de H(n-1) avec 1≤q₁≤q₂≤.....≤q_n-1 mais je bloque pour faire ressortir l'expression de H(n) étant donné que je ne trouve pas le lien entre tous les dénominateurs. Quelques indications please.
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[Seirios]

Bonjour,

Une indication : Si , alors .

[minushabens]

Pour la récurrence, tu prends 2 pour l'un des dénominateurs. Il reste à écrire 1/2 comme somme d'inverses de (n-1) entiers. Mais on sait que 1 peut s'écrire d'une telle façon. Il suffit de diviser par 2 les dénominateurs (tous >1), qui restent distincts et on a une écriture de 1/2 comme somme d'inverses d'entiers distincts (tous >2).

[inviteb48ae572]

Merci seiros pour ton indication mais.....je ne vois pas comment je vais l'utiliser dans la récurrence. Cette écriture de 1/q_n-1 nous donne encore une ajoute des fractions dan l'expression alors que nous voulons aboutir à 1=(1/q₁) +(1/q₂) +.....+ (1/q_n-1)+(1/q_n).

Et minushabens ne sommes nous pas sensés, pour prouver une récurrence, utiliser des nombres entiers quelconques?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Ce que propose Minushabens, c'est, sachant écrire 1 comme une somme de n fractions égyptiennes distinctes, de partir de

et de transformer le deuxième en somme de n fractions égyptiennes.

Maintenant, tu as tout ce qu'il te faut !!

[inviteb48ae572]

D'accord! Merci beaucoup pour vos aides!