distance entre un vecteur u et une droite engendrée par un vecteur v différent de u

[invite7577911a]

Salut,

ça fait un petit moment que je me casse la tête sur ce problème : Soit V un espace vectoriel sur R et u,v deux vecteurs de V tq v est non-nul. soit <v>, la droite engendrée par v. Prouver que la distance entre u et la droite <v> est égale à : d(u,<v>) = Racine(||u||^2 - (<u,v>^2 / ||v||^2)).
J'ai calculé d(u,<v>) = ||u-<v>|| = racine (<u,u> - 2<u,<v>> + <<v>,<v>>). Et à partir de là, je bloque, je sais que <v> = {xv tq x appartient à R} mais je ne sais pas comment arriver au résultat.. si quelqu'un pouvait m'aider, ce serait vraiment cool. merci.

Eyjafjallajokull
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[albanxiii]

Bonjour,

Dans un espace vectoriel, j'ai du mal à visualiser... Dans un espace affine, c'est déjà plus facile.
Quel est l'énoncé exact ?

[Amanuensis]

Je ne vois pas de problème avec l'énoncé.

Par contre le calcul proposé pour d(u,<v>) me semble incorrect.

la distance entre u et <v> est définie comme le minimum de la norme des vecteurs xv-u. Faut donc exprimer cette norme en fonction de x, et trouver le minimum.

[invite7577911a]

Bonjour,

Il s'agit de l'énoncé complet. Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7577911a]

Bonjour,

Merci beaucoup, j'ai trouvé c'est tout bon! C'est exactement ce que vous avez proposé... Bonne journée

[albanxiii]

la distance entre u et <v> est définie comme le minimum de la norme des vecteurs xv-u.

Oui, gros coup de fatigue de mon côté... C'est la distance entre un vecteur et un sous-espace vectoriel.