Exercice variable aléatoire

[Rafaelle55]

Bonjour,

J'ai une idée de solution, mais je ne sais pas si c'est juste, pouvez-vous m'éclairer ?

Voilà l'énoncé :
Soit N une variable aléatoire à valeurs dans N* et (X_n)_n€N une suite de variables aléatoires.
Je dois montrer que X_N qui à w associe X_N(w)(w) est une variable aléatoire.

Ma solution :
Pour tout w, X_N(w) = somme pour n allant de 1 à +l'infini de X_n(w) x 1_{N=n}(w)
Donc par opération sur les fonctions mesurables, X_N est mesurable ; c'est donc une variable aléatoire.


Est-ce juste et rigoureux ?
Merci d'avance
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[Rafaelle55]

Up!
Si quelqu'un passe par là

[JB2017]

Bonjour
J'ai beaucoup de doute sur la rigueur puisque tu le demandes:
Cela serait bien de commencer par un énoncé correct.
La v.a N est à valeurs dans Admettons, mais que vient faire la variable
Les variables aléatoires , sont à valeurs dans quoi? On n'en sait rien. Là on est donc amené à faire
des opérations dans un ou des espaces que l'on ne connait pas.
Ensuite pour moi une v.a est aussi définie par un ensemble de départ, voire un espace probabilisé. Il serait bien d'éclaircir tout cela avant même de vouloir tenter une solution.
Maintenant 1_{N=n} qu'est ce que cela signifie précisément.
En fait pour démontrer avec rigueur que l'on a une variable aléatoire on s'appuie sur la définition. Et une v.a c'est une fonction mesurable d'un espace probabilisé vers.....
Ce sont ces espaces dont tu ne parles pas qui manquent avant tout.

[minushabens]

Il faudrait en effet préciser un peu les espaces en jeu, mais en gros l'idée est d'écrire que

où appartient à un ensemble (un semi-anneau par exemple) qui engendre la tribu (à préciser) dans l'image des X.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonjour
Je reviens sur l'exercice. J'attends une réaction du poseur. En effet sa question est intéressante
et je ne vois pas pourquoi il ne répond pas malgré 2 réponses.

[Schrodies-cat]

La méthode proposée par Raphaelle55 semble astucieuse, mais il faut disposer d'un théorème sur les sommes infinies de variables aléatoires, et pour cela, il faut que les X_n soient à valeur dans un espace où ceci a un sens.
Il vaut peut-être mieux faire les choses à la main comme le propose Minushabens.