Bonsoir, (:
Si je comprends bien,
Une variable aléatoire X est discrète s'il existe un ensemble dénombrable S tel que
Une variable aléatoire est continue si sa distributionest continue.
Pour moi il est pas évident que ces deux notions s'opposent. Peut-on avoir une v.a. ni discrète ni continue? Discrète et continue?
Pour moi, une variable réelle continue est une variable dont la loi a une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur R. Et c'est équivalent au fait que pour toute partie A de R, L(A)=0 entraîne P(A)=0 (L est la mesure de Lebesgue et P la loi en question).
Une variable aléatoire réelle discrète est une variable dont le support de la loi est un ensemble dénombrable sans point d'accumulation.
Bonjour.
Il y a effectivement plusieurs définitions du mot "continue" pour les VA, entre le "absolument continue" pour les variables à densité, la définition de Zaskzask, celle de Minushabens et d'autres encore. La théorie de la mesure permet de tout traiter de façon uniforme.
Avec ta définition, Zaskzask, pour une variable discrète, il existe des éléments x de S (ensemble au plus dénombrable) dont la probabilité (P({x}) est non nulle. On en déduit que la fonction de répartition est discontinue en x, les limites à droite et à gauche étant distinctes (je te laisse faire ça à titre d'exercice).
Cordialement.
D'accords,
Donc si X est discrète, sa distribution est discontinue.
Mais si F est discontinue, sa v. a. X n'est pas forcément discrète non? Donc on peut avoir une v.a. qui n'est ni discrète, ni continue?
Oui, bien sûr. Voir par exemple ce fil de discussion.
Il y a un théorème (dont j'ai oublié le nom) qui dit que toute mesure de probabilité sur R est la somme de 3 mesures: une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue, une mesure discrète, et une mesure à support de mesure de Lebesgue nulle mais telle qu'aucun singleton n'a une masse strictement positive (mesure dite "singulière").
