Une application du théorème du retour de Poincaré

[PhilTheGap]

Bonjour

Un petit exercice d'un livre de "maths pour la physique" dont je n'ai jamais trouvé la solution.
Je rappelle ce théorème "de (l'éternel) retour" - d'ailleurs un très joli nom pour un théorème*. Le nom anglais est "Poincaré's recurrence theorem", moins sympa.

Soit une application bijective continue qui préserve le volume et associant à lui-même un domaine borné d'un espace euclidien:
Alors dans tout voisinage de d'un point quelconque du domaine il existe un point qui revient dans i.e., pour un certain .

Considérons le premier chiffre des nombres : 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4 , ....

PROBLÈME. Le chiffre 7 apparaît-il dans la séquence? Quel chiffre apparaît le plus souvent, 7 or 8 ? Établir le rapport de ces fréquences.

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Indice: soit un cercle et une rotation d'un angle . Si , alors est l'identité, et le théorème est trivial**. Si n'est pas commensurable avec , alors le théorème de Poincaré donne:

.

Donc si , l'ensemble des points de la forme est partout dense dans un cercle,

*: Bon ok c'est moi qui ai ajouté "éternel"
**: je rappelle que de toute façon, tout théorème est trivial. Ceci est un théorème.
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[minushabens]

si ce domaine t'intéresse je te conseille de lire le petit livre de Patrick Billingsley "Ergodic Theory and Information".

[PhilTheGap]

Un début de démonstration.

Nous voulons écrire , et prendre le logarithme base 10, pour avoir . Après nous devons ignorer .

NB:

[0577]

Bonjour,

quelques valeurs numériques:

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Je ne donne pas les valeurs exactes (afin de laisser chercher ceux qui ne connaîtraient pas la réponse):

Proportion de 1: environ 30,1%

Proportion de 2: environ 17,6%

Proportion de 3: environ 12,5%

Proportion de 4: environ 9,7%

Proportion de 5: environ 7,9%

Proportion de 6: environ 6,7%

Proportion de 7: environ 5,8%

Proportion de 8: environ 5,1%

Proportion de 9: environ 4,6%

Remarque: je ne pense pas qu'une application directe du théorème de récurrence de Poincaré soit suffisant pour résoudre le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[PhilTheGap]

Remarque: je ne pense pas qu'une application directe du théorème de récurrence de Poincaré soit suffisant pour résoudre le problème.

Oui et pourtant c'est sur un livre avec un auteur connu (V. Arnold). Bon cela peut être une coquille, mais comme c'est sur la seconde édition c'est étrange.

Cf. https://math.stackexchange.com/quest...rrence-theorem