bonjour, j'ai un DM de maths à rendre à la fin des vacances :
1. montrer que
celle ci est faite
2. montrer que quelque soit l'entier naturel n, l'équation tan x = x admet une unique solution dans l'intervalle ]
on note cette solution Xn
fait
3.montrer que Xn ~
done
4. montrer que pour tout entier n Xn = npi + arctan(Xn)
done
5. En déduire que Xn=
je suis bloquee la
6. montrer que Xn =
7. montrer que l'on peut trouver deux réels a et b tels que
merci de votre aide !
salut !
5.
on sait que Xn = n pi + arctan (Xn)
on pose une suite Yn = Xn - n pi ( on translate pour revenir vers 0, Yn est donc entre -Pi/2 et pi/2 )
Yn = arctan Xn.
Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi.
Ainsi Xn = npi + pi/2 + o(1).
6.
on va poser la suite Zn = pi/2 - Yn.
Zn = arctan Xn = arctan 1/Xn (cf 1° )
Zn tend en plus l'infinie vers arctan (1/(npi + pi/2 + o(1))) qui est équivalent à 1/(npi + pi/2 + o(1)) lui meme équivalent à 1/npi
d'où en réorganisant tout ça on trouve que Xn est égal à npi + pi/2 - 1/npi + o(1/n)
tu suis?
Dernière modification par sleinininono ; 04/01/2018 à 20h25.
pourquoi ?Envoyé par sleinininono
en fait, c'est bon, j'ai compris
pour la dernière question, je suis pas sûr, mais dire que
arctan a un DL en 0 d'ordre 1/n^3 , alors 1/arctan de même en plus l'infini et donc par bijectivité de arctan sur l'intervalle -pi/2 pi/2, tan aussi. Tu as effectué ce raisonnement sur la fonction Yn et tu peux re translater pour généraliser sur n'importe quel intervalle de la forme kn +/- pi/2.
C'est clair ou pas :/?
au passage
"Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi."
j'en suis convaincu mais je saurai pas te préciser pourquoi. Si quelqu'un d'autre peut rajouter du détail je veux bien haha
Dernière modification par sleinininono ; 04/01/2018 à 20h35.
ok, merci
