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DM de maths MPSI

  1. #1
    laure1234

    DM de maths MPSI

    bonjour, j'ai un DM de maths à rendre à la fin des vacances :
    1. montrer que
    celle ci est faite
    2. montrer que quelque soit l'entier naturel n, l'équation tan x = x admet une unique solution dans l'intervalle ] [
    on note cette solution Xn
    fait
    3.montrer que Xn ~ au voisinage de + inf
    done
    4. montrer que pour tout entier n Xn = npi + arctan(Xn)
    done
    5. En déduire que Xn=
    je suis bloquee la
    6. montrer que Xn =
    7. montrer que l'on peut trouver deux réels a et b tels que
    merci de votre aide !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    sleinininono

    Re : DM de maths MPSI

    salut !

    5.

    on sait que Xn = n pi + arctan (Xn)

    on pose une suite Yn = Xn - n pi ( on translate pour revenir vers 0, Yn est donc entre -Pi/2 et pi/2 )

    Yn = arctan Xn.
    Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi.

    Ainsi Xn = npi + pi/2 + o(1).

    6.
    on va poser la suite Zn = pi/2 - Yn.
    Zn = arctan Xn = arctan 1/Xn (cf 1° )

    Zn tend en plus l'infinie vers arctan (1/(npi + pi/2 + o(1))) qui est équivalent à 1/(npi + pi/2 + o(1)) lui meme équivalent à 1/npi

    d'où en réorganisant tout ça on trouve que Xn est égal à npi + pi/2 - 1/npi + o(1/n)

    tu suis?
    Dernière modification par sleinininono ; 04/01/2018 à 20h25.

  4. #3
    laure1234

    Re : DM de maths MPSI

    Citation Envoyé par sleinininono Voir le message
    Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi.
    pourquoi ?
    en fait, c'est bon, j'ai compris

  5. #4
    sleinininono

    Re : DM de maths MPSI

    pour la dernière question, je suis pas sûr, mais dire que

    arctan a un DL en 0 d'ordre 1/n^3 , alors 1/arctan de même en plus l'infini et donc par bijectivité de arctan sur l'intervalle -pi/2 pi/2, tan aussi. Tu as effectué ce raisonnement sur la fonction Yn et tu peux re translater pour généraliser sur n'importe quel intervalle de la forme kn +/- pi/2.
    C'est clair ou pas :/?


    au passage
    "Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi."
    j'en suis convaincu mais je saurai pas te préciser pourquoi. Si quelqu'un d'autre peut rajouter du détail je veux bien haha
    Dernière modification par sleinininono ; 04/01/2018 à 20h35.

  6. #5
    laure1234

    Re : DM de maths MPSI

    ok, merci

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