bonjour, j'ai un DM de maths à rendre à la fin des vacances :
1. montrer que
celle ci est faite
2. montrer que quelque soit l'entier naturel n, l'équation tan x = x admet une unique solution dans l'intervalle ]
on note cette solution Xn
fait
3.montrer que Xn ~
done
4. montrer que pour tout entier n Xn = npi + arctan(Xn)
done
5. En déduire que Xn=
je suis bloquee la
6. montrer que Xn =
7. montrer que l'on peut trouver deux réels a et b tels que
merci de votre aide !
salut !
5.
on sait que Xn = n pi + arctan (Xn)
on pose une suite Yn = Xn - n pi ( on translate pour revenir vers 0, Yn est donc entre -Pi/2 et pi/2 )
Yn = arctan Xn.
Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi.
Ainsi Xn = npi + pi/2 + o(1).
6.
on va poser la suite Zn = pi/2 - Yn.
Zn = arctan Xn = arctan 1/Xn (cf 1° )
Zn tend en plus l'infinie vers arctan (1/(npi + pi/2 + o(1))) qui est équivalent à 1/(npi + pi/2 + o(1)) lui meme équivalent à 1/npi
d'où en réorganisant tout ça on trouve que Xn est égal à npi + pi/2 - 1/npi + o(1/n)
tu suis?
pourquoi ?Envoyé par sleinininono
en fait, c'est bon, j'ai compris
pour la dernière question, je suis pas sûr, mais dire que
arctan a un DL en 0 d'ordre 1/n^3 , alors 1/arctan de même en plus l'infini et donc par bijectivité de arctan sur l'intervalle -pi/2 pi/2, tan aussi. Tu as effectué ce raisonnement sur la fonction Yn et tu peux re translater pour généraliser sur n'importe quel intervalle de la forme kn +/- pi/2.
C'est clair ou pas :/?
au passage
"Yn tend vers pi/2 donc arctan Xn aussi donc Xn aussi."
j'en suis convaincu mais je saurai pas te préciser pourquoi. Si quelqu'un d'autre peut rajouter du détail je veux bien haha
ok, merci
