Systèmes linéaires

[Gohan.]

Bonjour tout le monde, j'avais un petit blocage sur un exercice d'algèbre voilà l'énoncé:
Trouver tous les systèmes linéaires admettant les sous-espaces suivant comme ensemble solution:
U = [ (1, -1, 1, -1) (1, 1, -1, 1) ] et V = [ (1, 1, 1, -1, -1) (1, -1, 1, -1, 1) ]

A vrai dire moi je doute plutôt de l'existence de tels systèmes linéaires. D'abord ici en constatant bien les sev on peut dire que les systèmes solutions vont être constitués de deux variables libres et deux qui sont liés. Mais le problème en est que si j'essaie d'écrire l'ensemble solution S des systèmes je tombe sur des absurdités. Par exemple:
si on suppose que x₃ et x₄ représentent les variables libres pour le premier cas (U) alors:
S₁ = { x₃.(1, -1, 1, -1) + x₄.(1, 1, -1, 1) } ou { x₄.(1, -1, 1, -1) + x₃.(1, 1, -1, 1) }
= { (x₃+x₄, -x₃+x₄, x₃-x₄, -x₃+x₄) } mais ici aussi on tombe sur
donc on a les égalités: une absurdité du même genre
x₃-x₄ = x₃ >> x₄=0 absurde car x₄ libre
-x₃+x₄= x₄ idem

Peut-être aussi que c'est la méthode utilisée qui n'est pas bonne c'est pourquoi j'aimerai bien que quelqu'un puisse me donner un petit coup de pouce. Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

J'ai l'impression que tu confonds les variables du système avec les coefficients qui peuvent multiplier les vecteurs de base de U.

U est composé de tous les vecteurs de R^4 qui s'écrivent
u=a.(1,-1,1,-1)+b.(1,1,-1,1)=(a+b,-a+b,a-b,-a+b)
Comme (a+b,-a+b) peut prendre n'importe quelle valeur dans R², en posant c=a+b et d=-a+b, u=(c,d,-d,d) où c et d sont quelconques, u=(c,d,-d,d). La seule contrainte est sur les trois dernières composantes. Donc tout système à 4 inconnues x1, x2, x3, x4 qui se ramène à
x2+x3 = 0
x3+x4 = 0
donne U comme ensemble de solutions.

[Gohan.]

Bonsoir gg0, merci encore pour ton aide mais j'avais quelques questions: Etait-il nécessaire que le couple (c,d) choisi soit quelconques? Et quelle conclusion pourrions-nous tirer si un tel couple pouvant prendre toute les valeurs de IR² n'apparaissait pas?

[gg0]

Bonjour.

"Etait-il nécessaire que le couple (c,d) choisi soit quelconques?" As-tu lu ce qui précède : " (a+b,-a+b) peut prendre n'importe quelle valeur dans R²" ??? l'as-tu seulement compris (c'est à toi de justifier cette affirmation) ?
"Et quelle conclusion pourrions-nous tirer si un tel couple pouvant prendre toute les valeurs de IR² n'apparaissait pas? " Aucune.

J'ai traité l'exercice qu'on te donne, pour un autre, on fera en fonction de ce qui y est dit.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gohan.]

Bonjour gg0, j'ai bien compris ce que vous avez écrit mais il y a une dernière chose qui n'est toujours pas clair dans ma tête. En fait j'ai essayé de me représenter un tel système pouvant se ramener à la forme générale que vous avez donné mais j'y arrive pas. Pouvez-vous me donner un exemple ou une méthode pour obtenir l'équation initiale si possible?

[gg0]

Il n'est pas nécessaire de "se représenter". Seulement appliquer les règles.
Comment s'écrit un système linéaire général ? Comment doit-il être particularisé si on veut pouvoir le simplifier en celui que j'ai écrit ?

[Gohan.]

Ha oui je vois maintenant, mais pour répondre à la question je peux juste me limiter à dire que c'est tout système dont sa forme peut se ramèner à celle ci-dessous, au lieu de préciser les relations qui doivent exister entre les coefficients du système?

[gg0]

En fait, l'énoncé initial est assez malsain, car il existe une infinité de types de systèmes linéaires à 4 inconnues qui donnent ça, à condition qu'il y ait au moins deux équations.
Par exemple le système (à 4 inconnues)
2x₂+2x₃ = 0
x₂+x₃ = 0
x₃+x₄ = 0
5x₃+5x₄ = 0
-x₃ - x₄ = 0
donne U comme ensemble de solutions.
Donc effectivement, répondre que ce sont les systèmes d'équations qui se simplifient en
x₂+x₃ = 0
x₃+x₄ = 0
est une façon rapide de répondre.

[Gohan.]

Merci encore j'ai bien saisi le raisonnement