Equations différentielles linéaires / Représentation de monodromie

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Dans un article scientifique se trouvant sur le net, je trouve sans plus de détails, le paragraphe suivant :
Si est un ouvert connexe, , une équation différentielle linéaire d'ordre n : définit une représentation de monodromie : .
Par le théorème d'existence de Cauchy, les solutions locales au voisinage de forment un - espace vectoriel de dimension n muni de l'action de monodromie de .

Alors mes questions sont de savoir comment est défini la représentation de monodromie , et à quoi sert-t-elle par rapport à l'équation différentielle linéaire : ?

Merci d'avance.

PS : Le paragraphe çi-dessus est tiré du pdf suivant : http://www.galois.ihp.fr/wp-content/....-Szamuely.pdf , page : .
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[azizovsky]

Bonjour, il y'a ce lien: https://www.math.univ-toulouse.fr/~a...mie-expose.pdf.

c'est du lourd : prolongement analytique..., équation de classe de Fuchs, homotopie .....(il faut avoir les bases...)

[Anonyme007]

Merci beaucoup azizovsky. C'est effectivement le genre d'articles que je cherche .. celui que tu as mis.
Je commence dès maintenant sa lecture avec beaucoup d'enthousiasme.
Si t'en a d'autres comme celui là, je suis preneur.
Cordialement.

[azizovsky]

il y'a : https://scholar.google.fr/scholar?hl...nodromie&btnG=
si tu'a le temps ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

L'idée est que les conditions initiales de l'équa diff sont données par n constantes. Ensuite, il est possible d'effectuer un prolongement analytique de la solution, et quand on revient au départ on obtient d'autre constantes. Ce procédé donne une matrice de GL_n et on peut montrer qu'elle ne dépends que la classe d'homotopie du chemin suivi.

Par exemple tu peux regarder le log i.e . La monodromie est la matrice

[invite5357f325]

Je recommande aussi un super livre ( que j'aimerais bien lire en entier si j'ai le temps, avec des liens avec la théorie de Hodge ) sur le sujet : The Monodromy Group par Henry Zoladek.

[Anonyme007]

Merci à vous deux @azizovsky et @petrifie pour votre aide.
@petrifie : Merci. Je vais voir si cet ouvrage que tu cites est disponible sur le net. Merci encore une fois.
Cordialement.

[Anonyme007]

Bonsoir,

J'aimerais juste vous poser une petite question pour me simplifier la compréhension :
Est ce que la notion de monodromie et la notion d'holonomie sont la meme chose ? Quelle est la différence ?.

Merci d'avance.

[invite5357f325]

L'holonomie dépends d'une connexion et se mesure le long d'un chemin. Elle peut être différente pour deux chemins homotopes (par exemple il y a des exemples d'holonomie non triviales sur la sphère).

Si la connexion est plate alors l'holonomie ne dépends que de la classe d'homotopie et s'appelle la monodromie. La donné d'une connexion plate est équivalente à la donnée d'un système locale qui est équivalente à une représentation du groupe fondamentale. Je pense que c'est probablement expliqué dans le livre de Tamas Szamuely.

[Anonyme007]

Bravo à toi petrifie. Tu as une excellente manière d'expliquer les maths petrifie.
Oui, justement, depuis deux jour, je lis tout juste l'ouvrage de Szamuely : Galois groups and fundamental groups. Maintenant, je suis au chapitre : Riemann surfaces, page : . Il est facile à lire ce livre.