Sue les équations différentielles linéaires (exercices)

[invite705d0470]

Bonjour, j'ouvre cette discussion car je fais face à plusieurs difficultés concernant les équations différentielles.
Voici notamment deux exercices que je n'arrive pas à traiter !
Le but étant évidemment de chercher "par moi même", je ne demande pas de solution brûtale et ultra-directe, mais plutôt des pistes pour me faire comprendre des modes de pensée/méthodes que je pourrai réutiliser "by myself".

Exo 1: Soit Déterminer l'ensemble des soltutions dérivables sur R vérifiant

Mes idées (oui, parce que j'ai cherché, quand même ^^)
- Je raisonne par analyse-synthèse.
- Je remarque que si f est solution, alors elle est dérivable "une infinité de fois".
Je parviens, en dérivant une fois, à la condition f vérifie .
Si f est solution,
J'ai donc des problèmes sur les conditions de ces deux constantes d'intégration, puis sur lambda :
J'obtiens un système: mais je ne sais plus que faire ensuite ... (et en plus je n'arrive pas à le résoudre :/ )


Exercice 2:
Si f est une fonction continue périodique sur R Montrer que l'équation différentielle possède une unique solution bornée . Etudier la périodicité de .

idées (beaucoup moins):
- On sait que , où est une solution particulière de l'équa diff.
- après je bloque ... :/ (doit-on utiliser la solution générale de la forme: ?)

Merci se bien vouloir m'aiguiller

Bonne soirée,
Snowey.
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Exercice 1:
Je n'ai pas vérifié les calculs préliminaires, mais tu es confronté à un bête système linéaire : que tu résouds par déterminant ou toute autre méthode de ton choix


Exercice 2:
Si est continue et -périodique sur R, elle est bornée, ce qui permet de majorer l'intégrale qui intervient dans la solution générale de ton équation différentielle.

[invite705d0470]

Merci beaucoup,
mais je n'arrive toujours pas à résoudre ces exercices ...
Dans l'exercice 1, je trouve une condition sur lambda et non sur mu ou béta ! (ou alors je les trouve nuls, ce qui est très certainement faux).

Pour l'exercice 2, je n'arrive pas à majorer cette intégrale ...
Comment majorer ?
Par exemple, si : alors ce qui permet d'écrire: ?
Mais cette majoration là dépend de x donc ... :/

[invite705d0470]

Personne pour m'aider ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Bonjour !

Je sais qu'apparemment cette question n’intéresse presque personne, mais quelqu'un pourrait-il m'aider à venir à bout de ces deux exercices, et plus particulièrement du second que je trouve intéressant dans son esprit ^^

Merci d'avance !

PS: J'ai cherché ! (au cas où certains douteraient de mon implication quant aux questions fréquentes que je pose ^^)

[invite705d0470]

S'il vous plait :/

[invite705d0470]

Oh ... ^^
Personne ne sait trouver cette fonction ?

Je ne demande ne serait-ce qu'un indice !
Merci d'avance, je suis sur que quelqu'un pourra m'aider ^^

[invite705d0470]

Please ^^

[invite705d0470]

Boooooooonjour
Je sais que personne ne répond à ce topic (pourquoi, mystère), mais je ne désespère pas !

Voici deux exercices sur les équations différentielles que je n'arrive pas à résoudre :/
Bien sur, je suis prêt à chercher mais je n'aboutis à aucun résultat.

Voici ces deux exercices dont la résolution n'est peut être pas si éloignée ... :

1) Si f est une fonction continue -périodique sur . Montrer que l'équation différentielle possède une unique solution bornée notée . Etudier la périodicité de .

Mes idées:
J'ai montré que f était une fonction majorée sur . En effet toute fonction continue sur un intervalle fermé-borné est bornée, il suffit donc de considérer f sur un intervalle de longueur sa période, puis d'utiliser sa périodicité pour étendre ce résultat sur l'ensemble des réels.
Mais comment continuer ?
Bien sûr, j'ai pensé à exprimer la solution générale de l'équation différentielle: .
Mais je n'arrive pas à aller plus loin, en particulier je ne sais pas majorer ce type de fonctions !

2) Soit f une fonction définie sur dérivable de dérivée continue sur telle que . Montrer que f tend aussi vers 0 en .
Indication: poser .

Hm ... je suppose que la méthode consiste à exprimer f en fonction de g (cf formule précédente sur les solutions générales des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants), puis à utiliser l'information pour conclure. Seulement voilà, je n'y arrive pas non plus.

je sais que je dois embêter pas mal de monde avec ces questions, mais je suis très curieux de leur résolution !

Si quelqu'un veut bien m'éclairer, merci beaucoup.

Snowey

PS: God's Breath, si tu me lis:
le système du tout premier exercice avait un discriminant égal à . Je suppose que je dois en conclure qu'il y a soit aucune solution, soit un infinité ?
Je ne parviens pas à majorer 'intégrale que tu m'as montré

[invite57a1e779]

Pour le premier exercice, l'analyse prouve que les solutions sont de la forme : .

Pour la synthèse, une telle fonction est solution de l'équation si, et seulement si, pour tout nombre réel :



Comme les fonctions cosinus et sinus sont linéairement indépendantes, cette condition est réalisée si, et seulement si :



Ce dernier système, linéaire et homogène, est de déterminant nul, donc admet toujours des solution.
Comme un des coefficients ou est non nul, le système est de rang 1, et l'ensemble des solutions est de dimension 1.

Cas 1 : , c'est-à-dire n'est pas de la forme , .
Alors le système est équivalent à la seule équation : dont les solutions sont données par :



et les fonctions solutions sont données par :



Cas 2 : , c'est-à-dire est de la forme , .
Alors et le système se réduit à la seule équation : dont les solutions sont données par :



et les fonctions solutions sont données par :

[invite57a1e779]

Exercice 2:
Si f est une fonction continue périodique sur R Montrer que l'équation différentielle possède une unique solution bornée . Etudier la périodicité de .

idées (beaucoup moins):
- On sait que , où est une solution particulière de l'équa diff.
- après je bloque ... :/ (doit-on utiliser la solution générale de la forme: ?)

Comme est continue et -périodique, elle est bornée sur , et je note : .

Alors, pour tout réel : et l'intégrale est convergente ; je note sa valeur.

Si la solution de l'équation différentielle, de la forme avec , est bornée sur , alors tend vers 0 quand tend vers l'infini.

Comme , il y a au plus une solution bornée, elle est donnée par .

On majore alors : pour obtenir : .

[invite57a1e779]

2) Soit f une fonction définie sur dérivable de dérivée continue sur telle que . Montrer que f tend aussi vers 0 en .
Indication: poser .

Hm ... je suppose que la méthode consiste à exprimer f en fonction de g (cf formule précédente sur les solutions générales des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants), puis à utiliser l'information pour conclure. Seulement voilà, je n'y arrive pas non plus.

C'est bien ce qu'il faut faire.

Dans l'autre exercice on passe de « la donnée est bornée » à « il existe une solution (et une seule...) bornée ».

Ici, il faut passer de « la donnée est de limite nulle à l'infini » à « la solution est de limite nulle à l'infini » ; c'est le même principe, sauf qu'il va falloir manipuler des au lieu d'une borne supérieure .

[invite705d0470]

Je n'avais pas encore eu le temps de le faire, alors voilà, je te remercie pour cette réponse.
je n'ai pas encore vu la convergence des intégrales, cette exercice s'inscrivant dans un cours sur la résolution des équations différentielles, mais je garde cette idée dans un coin de ma tête pour plus tard !

merci beaucoup, donc, God's Breath, pour cette réponse mais aussi pour toutes les autres. C'est vraiment très gentil à toi de prendre le temps de nous répondre !

Amicalement, Snowey