Equations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficient constant.

[invite44ea6100]

Salut tout le monde !
Voila j'ai un petit problème pour résoudre les équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficient constant. Je trouve l'équation homogène mais j'ai du mal pour la recherche de la solution particulière.Je ne vois pas très bien ce que k représente et je n'arrive pas à le rédiger correctement. Serait il possible que quelqu'un m'explique la méthode ainsi qu'un exemple pour la rédaction ! Merci d'avance !
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[invite57a1e779]

Je ne sais même pas qui est k ; j'ai donc beaucoup de peine à voir ce qu'il représente.
Pourrais-tu détailler tes notations ?

[invite44ea6100]

f (x) = e ^(kx). P(x) , où P(x) est un polynome de degré n

[invite57a1e779]

On cherche la solution particulière sous la forme où le degré de est
– si n'est pas racine de l'équation caractéristique ;
– si est racine simple de l'équation caractéristique ;
– si est racine double de l'équation caractéristique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite44ea6100]

mais si on a quelque chose de la forme f (x) = cos (x)

[invite57a1e779]

[invite44ea6100]

Merci beacoup ! Tu pourrais regarder ma rédaction pour un exemple ? Car je ne sais pas trop trop ^^

y" + y = cos x (E)
a(x)= 1
b (x)= 0
c (x)= 1
a, b et c sont des fonctions continues sur R et donc les solutions de (E) seront définies sur R.
Résolution de l'équation homogène :
L'équation caractéristique est : r² +0 + r = 0
delta = -4 on a donc r1 = j et r2 = -j

yh (x) = Acos x + B sin x

Recherche d'une solution particulière :
f(x) = cos x = 1/2 e^jx + 1/2 e^-jx
Or k= 1 et est une racine de l'équation caractéristique.
On a donc :
yp(x) = x (Acos x + B sin x )
y'p(x) = (Acos x + B sin x ) + x( -A sin x + B cos x )

je sais pas trop si c'est comme ca et si c'est bon

[invite57a1e779]

on a donc r1 = j et r2 = -j

Recherche d'une solution particulière :
f(x) = cos x = 1/2 e^jx + 1/2 e^-jx
Or k= 1 et est une racine de l'équation caractéristique.

Attention ! Dans un bout du second membre on a et dans l'autre on a , c'est-à-dire les racines de l'équation caractéristique : au second membre interviennent deux polynômes, qui se trouvent être égaux entre eux, de degré 0, donc dans la solution particulière il faut faire intervenir des polynômes du premier degré :
que l'on préfèrera peut-être manipuler sous la forme .

[invite44ea6100]

On a donc ici une racine double ?

[invite57a1e779]

Non, on travaille avec les deux racines simples de l'équation caractéristique, ce qui n'est pas la même chose qu'une racine double.

[invite44ea6100]

ok, donc pour trouver la solution particulière on dérive yp(x) = (ax+b) cos x + (cx + d ) sin x ?

[invite57a1e779]

Oui, et on en déduit quelles valeurs il faut prendre pour les coefficients a, b, c et d.

[invite44ea6100]

Merci pour ton aide . Je fais ça et je te le poste quand je peux !