Equations différentielles linéaire (homogènes ?) d'ordre quelconque

[Bleyblue]

Bonjour,

Je savais déja résoudre les équadiffs du type : ay'' + by' + cy = 0 et j'ai essayé de généraliser à un orde quelconque en fouillant dans un cours d'analyse.

Pourriez vous tout dabord me dire ce que c'est qu'une équation 'homogène' ? C'est un terme que j'ai déja rencontré plusieurs fois et dont je ne comprend pas bien la signification (j'ai déja cherché dans le Larousse mais ce n'est pas très clair leurs explications ... )

Ensuite mettons que je doive résoudre

y'''' - 18y'' + 81 = 0

eq. caractéristique : r⁴ - 18r² + 81 = (r² - 9)² = 0

donc r = +/- 3

comme (r² - 9)² est de mutiplicité deux la solutions est :

y = Ae^3x + Be^-3x + Cxe^3x +Dxe^-3x

que je peux réécrire sous la forme :

y = (A + BX)e^3x + (C + Dx)e^-3x

Ca vous semble juste (c'est pour vérifier si j'ai saisit le truc) ?

merci
-----

[invitebf65f07b]

salut,
une équation homogène, c'est une équation sans second membre.

ensuite, pour les ordres élevés, une démarche classique c'est de se ramener à une equation d'ordre 1 mais de dimension supérieure.
Par exemple :
y''+ay'+by=0 donne avec Y=[y';y] (vecteur colonne),
Y'+A.Y=0 où

| a b| = A (c'est une matrice)
|-1 0|

On a donc bien un système d'ordre 1 (Y'+A.Y=0) mais on est passé en dimension 2.

après bien sûr, ça fait intevenir des exponentiels de matrices, donc y faut voir ce que tu cherches...

[Bleyblue]

salut,
une équation homogène, c'est une équation sans second membre.

Ah bon, donc
ax + b = 0 c'est homogène mais
ax = -b ça ne l'est pas malgré que ce soit les mêmes équations?

Ta méthode avec les vecteurs me semble compliquée sinon

[invite33bf3f30]

Une "petite" (suivant l'ordre) transformée de Laplace et zou on a la soluce par transformée inverse. En plus, on peut meme s'en servir avec un second membre

Oui oui, j'aime les cours de SI

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb85b19ce]

Ta méthode avec les vecteurs me semble compliquée sinon

C'est pourtant de là que provient l'équation caractéristique que tu as utilisée...

[invite86505d8e]

Salut!
Fait gaffe quand même, parce que tu es pas prêt de trouver de trouver une méthode pour généraliser à tous les ordres puisque ...... on sait pas faire. Pour dire vrai on ne sait pas résoudre les équations du deuxieme ordre déjà. On sait en résoudre certaines cependant, comme les equa diff scalaires qui est je crois le cas dont tu parles, cad avec les coefficients dans R (dans le cas général a,b et c sont des vecteurs non constants).

Pour le terme "homogène", cela veut dire que que dans
ay'' + by' + cy = d
on a d=0.
Donc ax+b=0 et ax=-b sont homogènes si et seulement si b=0. (NB : homogène ne s'emploit que pour des vraies équa diff, parce que là, sans dérivé, c'est juste des équations.)

[invitea3eb043e]

Ensuite mettons que je doive résoudre

y'''' - 18y'' + 81 = 0

eq. caractéristique : r⁴ - 18r² + 81 = (r² - 9)² = 0

donc r = +/- 3

Ce qui est strange dans ton raisonnement, c'est que si on pose z = y", on trouve :
z" - 18 z +81 = 0
dont l'équation caractéristique est r² - 18 = 0, ce qui donne des exponentielles avec 3 racine(2) x et non 3 x.
N'as-tu pas inventé un théorème, là ?

[invite33bf3f30]

Bah son équation de base n'est pas homogene a cause du 81. (Celle de Jeanpaul non plus d'ailleurs..)

Donc en fait il ne peut pas utiliser l'équation caractéristique de cette manière la.

En effet l'equation caracteristique r^4 - 18r^2 + 81 correspondrait à :

y'''' - 18y'' + 81y = 0

Et r^2 - 18 correspond à z'' - 18z = 0

[invitea3eb043e]

Bah son équation de base n'est pas homogene a cause du 81. (Celle de Jeanpaul non plus d'ailleurs..)

Donc en fait il ne peut pas utiliser l'équation caractéristique de cette manière la.

En effet l'equation caracteristique r^4 - 18r^2 + 81 correspondrait à :

y'''' - 18y'' + 81y = 0

Et r^2 - 18 correspond à z'' - 18z = 0

Bonne remarque !

[Bleyblue]

Bah son équation de base n'est pas homogene a cause du 81. (Celle de Jeanpaul non plus d'ailleurs..)

Donc en fait il ne peut pas utiliser l'équation caractéristique de cette manière la.

En effet l'equation caracteristique r^4 - 18r^2 + 81 correspondrait à :

y'''' - 18y'' + 81y = 0

Et r^2 - 18 correspond à z'' - 18z = 0

Pardon mais j'ai de nouveau fait une faute, normalement c'est 81y.

donc : y'''' - 18'' + 18y = 0 comme tu le dis

Mais le reste du raisonnement est juste je pense, non ?

merci