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Démonstration que la fonction est paire



  1. #1
    zildjian71

    Démonstration que la fonction est paire


    ------

    Bonjour à tous,

    voila je suis dans un DM de Mathématique niveau BTS.

    Et je coince sur une question qui est la suivante,

    Démontrons que la fonction f(t) = t (t-pi).

    Cette fonction me sers pour les série de Fourier.

    En rouge la fonction f(t) = t(t-pi)
    en bleu la fonction f(t) = -t(-t-pi)



    On voit bien que la fonction est paire, mais comment le démontrer littéralement ?

    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    will974

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Ta fonction n'est pas paire. En effet on a pas f(t)=f(-t).
    Graphiquement une fonction paire se reconnait par le fait que son graphe admet l'axe des ordonnées comme axe de symetrie. Ce qui n'est clairement pas le cas içi.

  3. #3
    zildjian71

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Citation Envoyé par will974 Voir le message
    Ta fonction n'est pas paire. En effet on a pas f(t)=f(-t).
    Graphiquement une fonction paire se reconnait par le fait que son graphe admet l'axe des ordonnées comme axe de symetrie. Ce qui n'est clairement pas le cas içi.
    C'est ce que j'ai cru également au départ, mais mon prof ma certifier que c'était paire. Il a dit que l'on s'occupait simplement de ce qui ce passe en dessous du 0 sur l'axe des Y

  4. #4
    ericcc

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    La définition d'une fonction paire c'est f(-t)=f(t).
    Ici f(t)=t(t-pi) et f(-t)=t(t+pi) ce n'est pas la même chose.

    Si tu prends n'importe quelle fonction tu auras toujours le même effet de "miroir" entre f(x) et f(-x), cela vient du fait que pour toute fonction f(x)+f(-x) est une fonction paire....

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    zildjian71

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    La définition d'une fonction paire c'est f(-t)=f(t).
    Ici f(t)=t(t-pi) et f(-t)=t(t+pi) ce n'est pas la même chose.

    Si tu prends n'importe quelle fonction tu auras toujours le même effet de "miroir" entre f(x) et f(-x), cela vient du fait que pour toute fonction f(x)+f(-x) est une fonction paire....
    Dans l'énoncer cela est marqué que la fonction f(t) est pi-périodique.

    Moi aussi ça me parait bizzard, mais il ma certifier que si.

  7. #6
    ericcc

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Ah !

    Je comprends mieux : tu n'as pas compris la définition de f.

    En fait on la définit sur [0,pi] par f(t)=t(t-pi), et on la prolonge sur IR en disant qu'elle est pi-périodique.

    Graphiquement cela revient à prendre ta courbe rouge et à la répéter tous les pi, que ce soit vers la droite ou vers la gauche.

    C'est ce que veut dire ton prof en te disant de ne te préoccuper que de la partie "en dessous"

    Dans ces conditions elle est bien paire

  8. #7
    zildjian71

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Ah !

    Je comprends mieux : tu n'as pas compris la définition de f.

    En fait on la définit sur [0,pi] par f(t)=t(t-pi), et on la prolonge sur IR en disant qu'elle est pi-périodique.

    Graphiquement cela revient à prendre ta courbe rouge et à la répéter tous les pi, que ce soit vers la droite ou vers la gauche.

    C'est ce que veut dire ton prof en te disant de ne te préoccuper que de la partie "en dessous"

    Dans ces conditions elle est bien paire
    autant pour moi si je me suis mal exprimer. comment faire alors pour le prouver littéralement et non graphiquement ? merci d'avance

  9. #8
    ericcc

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    comme elle est pi-périodique, et définie sur [0,pi], il suffit de le montrer sur [-pi,0]
    tu prends x dans [0,pi], -x est dans [-pi,0], donc par pi périodocité, f(-x)=f(pi-x) etc...

  10. #9
    zildjian71

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    comme elle est pi-périodique, et définie sur [0,pi], il suffit de le montrer sur [-pi,0]
    tu prends x dans [0,pi], -x est dans [-pi,0], donc par pi périodocité, f(-x)=f(pi-x) etc...

    que entend tu par ect ?

  11. #10
    zildjian71

    Re : Démonstration que la fonction est paire

    Up s'il vous plait

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