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exercice d'algèbre linéaire



  1. #1
    thelink30

    Post exercice d'algèbre linéaire

    Bonjour, voila mon exercice :

    f appartient à L(E), dim(E)=n

    Montrer que f²=0 <=> il existe g et h appartenant à L(E) / f=goh et hog=0


    La réciproque est évidente ( f² = (goh)² = gohogh =goOoh=0 )

    En revanche pour l'implication, j'ai trouvé une base ou la matrice f s'exprime de la forme suivante :

    rg(f) n-rg(f)
    <----><------->
    10....0
    010..0
    ..........
    0....01


    <----><------->

    ( les blancs étant des zéros )

    Mais à partir de cette matrice, je n'arrive pas à trouver deux matrices G et H / GH = F et HG = 0



    merci

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    God's Breath

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Je ne sais pas comment tu as fabriqué la matrice, mais son carré n'est pas nul... il n'est donc pas étonnant que tu ne puisses conclure.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #3
    thelink30

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Je ne sais pas comment tu as fabriqué la matrice, mais son carré n'est pas nul... il n'est donc pas étonnant que tu ne puisses conclure.


    Oula, bonne remarque, en fait la matrice obtenu est de cette forme

    ( j'ai inversé les colonnes ! )

    n - rg (f) rg(f)
    <----------><----->
    0..............010.....0
    0..............0010...0
    .............................
    0..............00.....01
    0.........................0
    .............................
    0.........................0

    0..............0
    Dernière modification par thelink30 ; 11/10/2009 à 19h24.

  5. #4
    God's Breath

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Par exemple et
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. #5
    thelink30

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Par exemple et


    Oui, effectivement, cela marche, mais ce genre de matrice ne convienne que si rg(f) < E ( n/2 ) ( quelque chose comme sa )

    En gros si tu prend par exemple une matrice 4*4 avec rg(f) = 3, cela ne marche plus !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    thelink30

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    En ce qui concerne la base :

    rg ( f ) = r donc une base de Im(f) comporte r vecteurs

    soit ( f(e1), ... , f(er) ) une base de Im(f)

    Im(f) C Ker ( f ), une base de ker(f) est de la forme

    ( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p ) avec p = dim Ker(f)


    Puis, si l'on considère la famille B = ( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p, e1, ..., er )

    d'apres le théorème du rang, c'est une famille de n vecteurs

    de plus, on montre que cette famille est libre

    donc B est une base de E

  9. Publicité
  10. #7
    God's Breath

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par thelink30 Voir le message
    Im(f) C Ker ( f ), une base de ker(f) est de la forme

    ( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p ) avec p = dim Ker(f)
    Donc , soit , et tu as la condition voulue sur la matrice pour que tu puisses développer mon exemple.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    thelink30

    Re : exercice d'algèbre linéaire

    Ah oui, effectivement, j'avais pas remarqué ce détail

    Merci beaucoup pour ton aide !

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