exercice d'algèbre linéaire

[invited6ae7662]

Bonjour, voila mon exercice :

f appartient à L(E), dim(E)=n

Montrer que f²=0 <=> il existe g et h appartenant à L(E) / f=goh et hog=0


La réciproque est évidente ( f² = (goh)² = gohogh =goOoh=0 )

En revanche pour l'implication, j'ai trouvé une base ou la matrice f s'exprime de la forme suivante :

rg(f) n-rg(f)
<----><------->
10....0
010..0
..........
0....01


<----><------->

( les blancs étant des zéros )

Mais à partir de cette matrice, je n'arrive pas à trouver deux matrices G et H / GH = F et HG = 0



merci
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[invite57a1e779]

Je ne sais pas comment tu as fabriqué la matrice, mais son carré n'est pas nul... il n'est donc pas étonnant que tu ne puisses conclure.

[invited6ae7662]

Je ne sais pas comment tu as fabriqué la matrice, mais son carré n'est pas nul... il n'est donc pas étonnant que tu ne puisses conclure.

Oula, bonne remarque, en fait la matrice obtenu est de cette forme

( j'ai inversé les colonnes ! )

n - rg (f) rg(f)
<----------><----->
0..............010.....0
0..............0010...0
.............................
0..............00.....01
0.........................0
.............................
0.........................0

0..............0

[invite57a1e779]

Par exemple et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited6ae7662]

Par exemple et

Oui, effectivement, cela marche, mais ce genre de matrice ne convienne que si rg(f) < E ( n/2 ) ( quelque chose comme sa )

En gros si tu prend par exemple une matrice 4*4 avec rg(f) = 3, cela ne marche plus !

[invited6ae7662]

En ce qui concerne la base :

rg ( f ) = r donc une base de Im(f) comporte r vecteurs

soit ( f(e1), ... , f(er) ) une base de Im(f)

Im(f) C Ker ( f ), une base de ker(f) est de la forme

( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p ) avec p = dim Ker(f)


Puis, si l'on considère la famille B = ( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p, e1, ..., er )

d'apres le théorème du rang, c'est une famille de n vecteurs

de plus, on montre que cette famille est libre

donc B est une base de E

[invite57a1e779]

Im(f) C Ker ( f ), une base de ker(f) est de la forme

( f(e1), ..., f(er), b r+1, ..., b p ) avec p = dim Ker(f)

Donc , soit , et tu as la condition voulue sur la matrice pour que tu puisses développer mon exemple.

[invited6ae7662]

Ah oui, effectivement, j'avais pas remarqué ce détail

Merci beaucoup pour ton aide !