Bonjour à toutes et tous.
Je dois rendre demain une préparation en maths qui consiste à étudier une application linéaire. Cette matière est assez nouvelle pour moi et donc j'aimerais bien que vous me donniez votre avis sur mes réponses
L'application est définie comme ceci: L: R[X] -> R³: P(X) -> L(P(X)) =
( P(1), P(a),)
où R[X] représente l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 et a est différent de 1.
1) Quelle est la dimension de l'espace de départ? Il me semble clair que c'est 3 puisqu'on a x², x, 1 comme base.
2)Quelle est la dimension de l'espace d'arrivée? J'ai mis qu'il était de dimension 3 également mais sans justifier parce que ça parait assez évident.
3)Comment prouver que L est linéaire? Ici, j'ai un petit soucis parce que je ne vois pas comment prouver rigoureusement que L( P(1) + P2(1) ) = L( P(1) ) + L ( P2(1)) etc
+ multiplication par un scalaire...
4)La forme d'une équation linéaire est L(X) = b. Quel est le vecteur b? Comment interpréter une solution de cette équation?
Le vecteur b est un triplet (P(1) , P(a), ...). Une solution de cette équation est un sous-ensemble de R[X] tel que pour tout x appartenant à ce sous-ensemble, L(X) = b.
6)Quels sont les espaces Im L et Ker L? Quels sont leurs dimensions? Je m'intéresse tout d'abord au noyau en sachant que la dimension de l'espace-image est donnée par dim Ker L + dim Im L = dim E. Je me dis qu'une fonction dont l'intégrale entre -1 et 1 est nulle est nécessairement impaire, ç-à-d ici de degré 1 ou 0. Or, P(x) = x ne convient pas puisqu'on a aussi besoin d'une racine en 1 et une en 0 donc il reste la fonction P(x) = 0. Ainsi, ker L est de dimension 1 et par conséquent, le rang de L est 2.
7) L est elle injective? surjective? Quel est le lien entre surjectivité, injectivité et inversibilité à droite, à gauche de L? Là je décroche
Bref, un petit coup de main serait le bienvenu, merci
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Envoyé par Lighter 