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Questions d'algèbre linéaire



  1. #1
    Lighter

    Questions d'algèbre linéaire


    ------

    Bonjour à toutes et tous.

    Je dois rendre demain une préparation en maths qui consiste à étudier une application linéaire. Cette matière est assez nouvelle pour moi et donc j'aimerais bien que vous me donniez votre avis sur mes réponses
    L'application est définie comme ceci: L: R[X] -> R³: P(X) -> L(P(X)) =
    ( P(1), P(a), )

    où R[X] représente l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2 et a est différent de 1.

    1) Quelle est la dimension de l'espace de départ? Il me semble clair que c'est 3 puisqu'on a x², x, 1 comme base.

    2)Quelle est la dimension de l'espace d'arrivée? J'ai mis qu'il était de dimension 3 également mais sans justifier parce que ça parait assez évident.

    3)Comment prouver que L est linéaire? Ici, j'ai un petit soucis parce que je ne vois pas comment prouver rigoureusement que L( P(1) + P2(1) ) = L( P(1) ) + L ( P2(1)) etc
    + multiplication par un scalaire...

    4)La forme d'une équation linéaire est L(X) = b. Quel est le vecteur b? Comment interpréter une solution de cette équation?
    Le vecteur b est un triplet (P(1) , P(a), ...). Une solution de cette équation est un sous-ensemble de R[X] tel que pour tout x appartenant à ce sous-ensemble, L(X) = b.

    6)Quels sont les espaces Im L et Ker L? Quels sont leurs dimensions? Je m'intéresse tout d'abord au noyau en sachant que la dimension de l'espace-image est donnée par dim Ker L + dim Im L = dim E. Je me dis qu'une fonction dont l'intégrale entre -1 et 1 est nulle est nécessairement impaire, ç-à-d ici de degré 1 ou 0. Or, P(x) = x ne convient pas puisqu'on a aussi besoin d'une racine en 1 et une en 0 donc il reste la fonction P(x) = 0. Ainsi, ker L est de dimension 1 et par conséquent, le rang de L est 2.

    7) L est elle injective? surjective? Quel est le lien entre surjectivité, injectivité et inversibilité à droite, à gauche de L? Là je décroche

    Bref, un petit coup de main serait le bienvenu, merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Lighter

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Un petit up...

  4. #3
    Lighter

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Allez, c'est à votre niveau quand même?

  5. #4
    God's Breath

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    3)Comment prouver que L est linéaire? Ici, j'ai un petit soucis parce que je ne vois pas comment prouver rigoureusement que L( P(1) + P2(1) ) = L( P(1) ) + L ( P2(1)) etc
    Tu as un gros problème avec le formalisme de l'énoncé.

    L'application est définie sur , tu ne peux donc écrire que lorsque le qqch est un polynôme. Mais n'est pas un polynôme... donc ton écriture et fautive.

    Tu as, par définition : .
    Tu dois montrer que, pour tout polynôme et tout polynôme : , c'est-à-dire que .

    Ce calcul sur les triplets est en fait très simple.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Lighter

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Merci beaucoup, ma notation est en effet fausse et je m'y retrouve mieux maintenant.
    Je corrige aussi ma réponse 6 qui est fausse. En effet, les seules fonctions dont l'intégrale entre -1 et 1 est nulle ne sont pas forcément paires. En fait, une base du noyau est -3x² +2x +1 si le paramètre a vaut -1/3.

  8. #6
    God's Breath

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Les éléments du noyau sont définis par les conditions , et .
    Il faut utiliser les deux premières relations pour en déduire une expression factorisée de , et la troisième pour déterminer explicitement les éléments du noyau.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. Publicité
  10. #7
    Lighter

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    Les éléments du noyau sont définis par les conditions , et .
    Il faut utiliser les deux premières relations pour en déduire une expression factorisée de , et la troisième pour déterminer explicitement les éléments du noyau.
    Ma méthode a plutôt consisté à prendre un second degré ax² + bx + c quelconque puis lui imposer des conditions une à une (intégrale nulle,2 racines etc) pour exprimer tous les paramètres en fonction de c. en tout cas, je suppose qu'on doit arriver tous les deux au même résultat.

  11. #8
    God's Breath

    Re : Questions d'algèbre linéaire

    Oui, mais on peut tout simplement exprimer les racines en disant que le polynôme est de la forme .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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