Artimétique Terminale S spé math

[invite9740792d]

Bonjour à tous,
Alors voila j'ai un blocage, je pense que la méthode que j'utilise est bonne mais je n'arrive pas à finaliser...

-Soit n un entier naturel qui s'écrit n=10a+b avec a et b deux entiers naturels.
a) prouver que n est divisible par 17 si et seulement si a-5b est divisible par 17.
b) déterminer sans calculatrices si ces nombres sont divisibles par 17:
16 381 ; 152 592 ; 16 983 ; 83 521.

Je pense qu'un fois la partie a) fini, la partie b) se fera facilement donc à la limite ne prenez pas compte de la partie b) sauf si vous vous ennuyez.
Bref, voici ce que j'ai fais jusque là:

J'ai dabord simplifier l'énoncé:
MQ 17|n <=> 17|a-5b


17|10a+b
alors j'ai pensé que b>=7 car si a=1 on a 7+10>=17

Ensuite, 10a+b est en fait l'écriture du chiffre, c'est à dire que b représente les unités et 10a l'autre partie du nombre.(dizaines, centaines etc...)
Mais, comment arriver à dire que 17|a-5b ,
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[invite57a1e779]

Combien vaut ?

[Arkangelsk]

Bonjour,

Ensuite, 10a+b est en fait l'écriture du chiffre, c'est à dire que b représente les unités et 10a l'autre partie du nombre.(dizaines, centaines etc...)

Certainement pas ! Si et , alors "b représente les unités et 10a l'autre partie du nombre" ?

[invite9740792d]

A oui, effectivement je n'avais pas envisager ce cas de figure, Arkangelsk je te remercie ^^
Par contre God's Breath je ne comprend pas du tout ta question, je voit pas l'intérêt.

En fait, en cherchant un peu j'ai trouvé une règle de divisibilité par 17
http://www.gymnase-yverdon.vd.ch/bra.../dem_div17.htm
Voila, je vais travailler la dessus.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

On peut aussi écrire n = 10 ( a - 5b) + 51 b et là on voit mieux

[invite9740792d]

A oui! Ingénieux! 51 est dailleur un multiple de 17... mais si 17|51 on est pas sur que 17|51b... Mais c'est bon à prendre.

[bubulle_01]

Combien vaut ?

Tu ne pensais pas plutôt à ?

[invite9740792d]

On peut aussi écrire n = 10 ( a - 5b) + 51 b et là on voit mieux

On pourrait enchainer avec quoi à partir de ce que tu as écrit?

[Arkangelsk]

Il faut démontrer les deux implications pour avoir l'équivalence : " est divisible par " implique " divisible par " et la réciproque.

[invite57a1e779]

Tu ne pensais pas plutôt à ?

Bien sûr que si, il y a une faute de frappe : , donc divise si, et seulement si, divise , et un soupçon de théorème de Gauss fournit l'équivalence voulue.

[invitea3eb043e]

A oui! Ingénieux! 51 est dailleur un multiple de 17... mais si 17|51 on est pas sur que 17|51b... Mais c'est bon à prendre.

Si 17 divise 51 (ce qui est probable) alors 17 divise 51 b...

[invite9740792d]

Si 17 divise 51 (ce qui est probable) alors 17 divise 51 b...

Oula... t'as raison, je vais me mettre à réviser, ça craint ^^