Révision d'algèbre linéaire

[inviteedb947f2]

Bonjour à tous,

Je suis sur un exercice d'algèbre de SPE MP, et j'ai un petit problème, le voici :

A et B deux matrices réel d'ordre n, telle qu'il existe une matrice M non nulle réel d'ordre n telle que :

AM = MB

Je dois montrer que si A est diagonalisable alors A et B admette une valeur propre commune. Et si B est diagonalisable, même question.

Dans le cas ou l'hypothèse est "B diagonalisable", pas de problème. Mais dans le cas ou l'hypothèse est "A diagonalisable" le fait d'avoir le M "avant" B me pose des problème pour revenir à une définition classique de valeur propre pour A.

J'ai essayer de raisonner en terme d'applications linéaires, mais je conclut rien de plus qu'avec les matrices.

Merci d'avance pour votre aide
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[invite35452583]

Il me semble qu'en prenant les transposées tu te ramènes au cas que tu sais résoudre.

[inviteedb947f2]

Ok merci, javais pas pensé trop pensé à ça car je me rappellais plus trop des résultats entre matrice et sa transposé

[invite5957e84d]

Tiens ça m'intéresse aussi, même si je suis en PC, les réductions d'endomorphismes sont aussi à notre programme, donc fais moi signe si tu trouves .

Je ne crois pas qu'il y ait trop de résultats sur les vp concernant la transposée d'une matrice, non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2c3ff3cc]

Je ne crois pas qu'il y ait trop de résultats sur les vp concernant la transposée d'une matrice, non?

Plutôt si. Une matrice carrée et sa transposée sont semblables ! (résultat non trivial par ailleurs)

[invite5957e84d]

Pas trivial du tout même oui...
Je savais qu'une matrice carrée et sa transposée avaient le même rang, mais je ne savais pas qu'elles étaient semblables, et ça ne me semble pas faire partie du programme de PC...Mais bon, c'est toujours bon à savoir .

[invite35452583]

Il n'y a pas besoin de ce résultat. Il est plus simple de voir que A et ^tA ont même polynôme caractéristique et donc A et sa transposée admettent les même valeurs propres.

[invite09e593f7]

j'essaie de chercher cet exo mais en fait je ne vois pas bien ce qu'il faut montrer pour avoir l'existence d'une valeur propre commune.