exercices équations différentielles

[invite69baa1f1]

Voici l'énoncé:

dx/dt = -2x-y+3 (1)
dy/dt = -y+x (2)
z = 3-x-y (3)

Conditions initiales : x(0) = 3, y(0) = 0 et z(0) = 0

On donne (E1) d²x/dt² + 3 dx/dt + 3x = 3

1. Résoudre dans C l’équation du second degré d’inconnu r suivante :

(Ec) r² + 3r + 3 = 0

2. En déduire la solution générale de l’équation différentielle du second ordre suivante :

(E0) d²x/dt² + 3 dx/dt + 3x = 0


3. Déterminer une fonction constante solution particulière de l’équation différentielle du second ordre (E1)

4. En utilisant les résultats précédents, donner la solution générale de (E1)


5. En utilisant l’équation (1), calculer la valeur prise par la dérivée de la fonction x en zéro : x’(o)

6. Montrer que la solution de l’équation différentielle (E1) qui vérifie les conditions initiales est la fonction x définie pour tout t supérieur à 0 par :

x(t) = 1+2e(-1.5t) cos ((rac 3/2)t)

7. Calculer la dérivée de la fonction de x. En déduire l’expression de la fonction y

8. Déterminer la fonction z en utilisant l’équation (3)

9. Calculer les limites de x(t), y(t) et z(t) lorsque t tend vers + infini.

J'ai mis en pièce jointe ce que j'ai réussi à faire, j'aimerais savoir si c'est juste car j'ai des difficultés avec les équations différentielles.
Merci
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[cedbont]

Bonjour,

désolé mais je trouve des choses différentes :

Pour la 1) Tu as des problèmes de signes : je trouve comme racines r = - 3/2 +- sqrt(3)/2
Tu ne pourrais pas de toute façon avoir sqrt(-3).

D'où quelques modifications dans la 2).

Pour la 3) Le début est bon, mais porquoi ne remplaces-tu pas l'est expressions de x(t), x'(t) et x''(t) dans (E1) ? Tu trouverais x(t) = 3.

Pour la 4) Bonne méthode, seuls les résultats précédents sont à revoir.

Pour la 5) Tu as aussi y(0).

Tu peux "arranger" la suite ...

[invite69baa1f1]

J'ai repris l'exercice, il y a toujours quelques questions que je n'ai pas réussi à faire. J'ai besoin d'aide, svp. Merci

[cedbont]

Bonjour,

je m'étais trompé pour la 3) et la fonction constante est bien 1 !

Donc pour la 5) tu trouves x'0) = -3 ??

Pour la 6) tu sais déjà que x(0) = 3 et x'(0) = -3. Tu remarques aussi que la solution qui t'est proposée est de la même forme que celle que tu as trouvée avec les constantes A et B qui sont ici définies (plutôt rassurant). Or, la solution d'une équation linéaire du second ordre à coefficients constants est unique lorsque deux conditions sont fixées (ici x(0) et x'(0)). Donc tu n'as qu'à vérifier que la solution proposée satisfait x(0) = 3 et x'(0) = -3 et c'est tout !

Pour la 7) Ola ! Ta dérivée est plutôt ... étrange ! Je te rappelle que (u*v)' = u'*v+u*v' Sinon, c'est la bonne méthode pour la suite (il y a juste x' qui cloche).

Tu peux faire le 8), c'est pareil que pour déterminer x.

Ensuite, tu écris "là je n'y arrive plus". Je pense que c'est pour la 9). Quelle limite n'arrives-tu pas à faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69baa1f1]

J'ai refait la dérivée:

x'(t) = -3e-1.5t * cos(rac3/2)t + (1+2e-1.5t)*(-sin(rac3/2)t)

x'(t)= -3e-1.5t * cos(rac3/2)t -sin(rac3/2)t -2e-1.5t *sin(rac3/2)t

Est-ce juste?

[invite69baa1f1]

Bonjour,

J'ai essayé de refaire le développement mais j'aimerais savoir si la dernière expression est juste afin de pouvoir faire les limites de z.

Merci!

[invite69baa1f1]

J'ai beaucoup de mal pour les limites...

Les expressions sont assez longues!!

Je trouve quand t tend vers + infini

lim x(t) = 1

lim y(t)= + infini

lim z(t) = - infini

Est-ce juste? D'après que les expressions que j'ai trouvé précedemment ?