équations (différentielles)

[invitef5b0e516]

Bonjour,

Comment peut-on résoudre analytiquement une equation du genre :

d²U/dr² + 1/r dU/dr = constante (l'inconnue étant U)

et

d²V/dr² + 1/r dV/dr - 1/r² V = 0 (l'inconnue étant V)

Merci
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[inviteab2b41c6]

Bonjour,
la première équation est du premier ordre en V en posant dU/dr=V, qui est facile à résoudre.

La seconde, doit être une équation d'Euler je pense, dont les solutions sont des fonctions puissances (à vérifier).
Notamment si je pose
V=r^a ca donne
dV/dr=ar^(a-1)
d²V/dr²=a(a-1)r^(a-1)

Tu trouves alors que ton équation est
a(a-1)r^(a-2)+ar^(a-2)-r^(a-2)=0 et ainsi en mettant r^(a-2) en facteur celà devient
r^(a-2)(a(a-1)+a-1)=0
un petit argument de permet de dire que donc (a(a-1)+a-1)=0
donc (a-1)(a+1)=0 donc a=1 ou a=-1.
Les solutions sont donc du type
C1r+C2/r
où C1 et C2 sont des constantes à déterminer.
Sauf erreurs,
A+

[invitef5b0e516]

La deuxième équation ne serait pas être résolue en la manipulant et en la transformant en équation de bessel?

[inviteab2b41c6]

Mais elle n'est pas résolue là?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef5b0e516]

si mais, j'obtiend zéro a la fin avec mes conditions limites

[invitef5b0e516]

J'ai trouvé pourquoi ca marche pas. Si on remplace v par c1r+c2/r dans l'équation, on obtient pas zéro. Faut peut être résoudre l'équation autrement.

[inviteab2b41c6]

j'ai du me tromper quelque part, les solutions sont
C1(r-1/r)+C2(r+1/r)

Ca doit être correct à présent.
A+

[inviteab2b41c6]

Qui quand on y réfléchit doit revenir au même...
Donc mes solutions sont bonnes.
Non?

[invite4793db90]

Donc mes solutions sont bonnes.
Non?

Je confirme.

[inviteab2b41c6]

Oui oui, mais j'en étais sur d'après Maple, mais je ne comprend pas notre interlocutrice.
S'est elle trompée dans son équation tout bêtement?
Amicalement.

[invitef5b0e516]

Oui, c exact. Ma réponse donne tout simplement zéro à cause de mes conditions au limites (qui sont elles aussi bonnes)
Merci pour l'aide