définition log népérien

[invite0781c82b]

Bonjour à tous , j'ai vu les logarithmes népérien , mais c'est un objet mathématique que je ne maitrise pas encore je pense , donc je vais vous en donnez mon interprétation et vous me direz si j'ai bien saisi la chose svp :

quand on lit ln(x) , ça veut dire que ln(x) représente l'intégrale de la fonction 1/x au point d'abscisse x je pense ?

mais quand on nous dit ln(x) = y , et e^y = x , ça veut dire que si on prend la fonction exponentielle , et qu'on la met à la puissance de l'intégrale de 1/x au point x , on obtient x , mais quel est l'intérêt de faire çà , c'est juste une interprétation géométrique de la chose , enfin moi quand je pense aux ln et aux exp , je pense à fonctions bijectives dans ma tête , et c'est perturbant pour mes calculs car je dois visualiser trop d'informations , c'est pas évident...

quelqu'un a une explication plus claire?
merci
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[GuYem]

Tu peux en effet voir le ln(x) comme l'integrale de 1 à x de la fonction 1/x.
Cependant comme tu l'as dit, le mieux c'est de le voir comme la bijection réciproque de l'exponentielle. Ensuite tu peux t'amuser à donner des interprétations géométriques comme celle que tu as données mais ça ne sert pas à grand chose.

[invite77e86f54]

perso on ma dit "x->ln(x) esyt la primitive de x->1/x qui s annule en 1"....

[matthias]

Tout d'abord ne confond pas intégrale et primitive. On peut effectivement définir le logarithme népérien comme l'unique primitive de x - > 1/x (x>0) s'annulant en 1. Ensuite ce que tu expliques de manière maladroite m'a l'air de correspondre uniquement au fait que le logarithme népérien et la fonction exponentielle soit les fonctions inverses l'une de l'autre. On peut effectivement en donner une interprétation géométrique ce qui permet de visualiser la chose, mais qui n'est pas nécessaire pour la définition.
Je suis navré si ces explications ne te satisfont pas, essaie alors de préciser ton problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0781c82b]

désolé d'être maladroit matthias , je viens ici juste pour avoir une formulation adroite , je vais poser mon problème autrement :

supposons que j'ai 2^x = 10

j'ai la solution de cette équation :

x*ln(2) = ln(10)
x = ln(10) / ln(2)

voilà , je connais les formules par coeur , mais j'applique çà de manière totalement stupide car je ne comprends rien à ce que j'écris , alors si je suis en devoir et que j'ai 12/20 par exemple , je serai heureux pour la note , mais malheureux car j'aurais fait croire à mes profs que je comprends alors que c'est du chinois

[martini_bird]

Salut,

la chose la plus importante à retenir au sujet des logarithmes demeure néanmoins qu'ils transforment produits en sommes:

log(a.b)=log(a)+log(b)

Cordialement.

[invite0781c82b]

ok martini mais serait tu capable de m'expliquer ta visualisation de la chose quand tu résouds l'équation que j'ai mis plus haut s'il te plait ?

[invitead065b7f]

Salut,

je pense que tu pourrais juste essayer de voir le logarithme comme la bijection répicroque de l'exponentielle. Je ne crois pas avoir jamais "compris" quoi que ce soit de plus important à son sujet. Dans ce cas précis, retenir le forumule que t'a donné martini me semble une bonne chose (mais j'ai vu que tu semblais connaitre sa petite soeur, donc ça va).

Concernant l'exponentielle, je ne sais pas comment on te l'a défini, mais pour moi c'est la fonction qui reste identique à elle même quand on la dérive. Tu as dû étudier un peu les equations différentielles, et dans ce cas tu sais que une fonction identique à sa dérivée est définie à multiplication par une constante près. Ce qui fait que le log est la primitive de 1/x est le choix de cette constante (qui détermine la valeur en 1 par exemple).

Il y a d'autres moyens de définir l'exponentielle, mais je ne pense pas que ce soit le moment de t'en parler...


Pour revenir à l'équation, la voir en tant qu'intégrale ou ce genre de chose est une bonne façon de s'embrouillé, il me semble. Appliqué bêtement me semble la chose à faire. (en tout cas c'est ce que je fais dans ce cas là ).


Amicalement
Moma

[Romain-des-Bois]

Dans mon cours, on a procédé de cette façon :
existe-t-il une fonction telle que sa dérivée soit 1/x et qui s'annule en 1.
on démontre que si cette fonction existe, alors f(a.b)=f(a)+f(b)
et cette fonction c'est ln...

il faut aussi savoir que e^ln(x)=x (si x positif)
et ln (e^x) = x (pour tout x)
- ln et exp sont réciproques.

Je crois qu'historiquement ça s'est fait comme ça.

[invitea77054e9]

On peut aussi retrouver le fait que ln(x) est une primitve de 1/x en partant de sa définition en tant que fonction réciproque de exp.
En effet,
considérant f comme bijective et dérivable sur un intervalle I, et nommant g sa réciproque, on utilise la formule suivante:
g'(x)=1/f '(g(x)) (la démonstration de cette formule n'est pas très difficile, un peu technique tout de même).

Appliquons cette formule à f=exp et g=ln:
ln'(x)=1/exp'(ln(x))=1/x.

On a donc bien trouvé 1/x comme dérivée de ln(x). On peut conclure que ln(x) est une primitve de 1/x, et ceci seulement en partant du fait que ln est réciproque de exp (et bien sur en connaissant les propriétés de exp).