bonjour,
voila un petit exercice sur les matrices à coefficients dans Z.
Soient A et B de telles matrices. Montrer que si leur determinant sont premiers entre eux alors il existe U et V aussi à coefficients dans Z telles que AU + BV = I
je n'ai pas la solution (donc je sais pas si c'est vrai), mais si ça l'est je trouve que c'est une jolie extension de Bezout. La réciproque étant clair justement par Bezout.
Bonjour,Envoyé par space-kro
je ne crois pas que la réciproque soit claire car si A=[2,0;0,1], B=[1, 0;0 2], U=I et V=[-1,0;0,0],
alors AU+BV=I, mais pourtant pgdc(det(A),det(B))=2. Si je ne me suis pas trompé.
A bientôt
Salut,
on doit pouvoir trouver un analogue de Bézout car Mn(Z) est principal. Mais la condition sur les déterminants semblent en effet insuffisante.
Cordialement.
oui c'est vrai j'ai un peu craqué pour la réciproque... j'ai fait
det(a+b)=det(a)+ det(b) dans ma tête.
enfin bon je pense que ça doit être juste (pas la réciproque) quand même comme résultat car je l'ai vu dans l'officiel de la taupe de cette année, il a été posé pour des mp au concours mines-ponts.
ils font aussi beaucoup d'erreur dans l'officiel alors...
Oui, je crois que j'ai trouvé. Comme Mn(Z) est principal, on a l'existence d'une matrice C et de deux autres matrices X et Y telles que A=CX et B=CY.
Donc det(A)=det(C)det(X) et det(B)=det(C)det(Y), ce qui implique que det(C) divise le pgdc(det(A),det(B)) qui vaut 1 par hypothèse. Donc C est inversible.
Il y a donc une matrice inversible dans l'idéal engendré par A et B, ce qui prouve que cet idéal est Mn(Z) tout entier et donc il existe U et V tels que AU+BV=I.
Il me reste à prouver que Mn(Z) est principal...
Sylvestre, si je prend, avec tes notations, C=I, X=A et Y=B, ça avance à quoi?
Que Mn(Z) soit principal ou non, j'ai trouvé un C, un X et un Y.
Le seule difficulté ici résoud dans le fait de prouver que tout idéal est principal (ce que justement tu essaies de faire, et je l'espère, avec succès)
A votre avis, est-ce qu'il y a des chances pour que Mn(Z) soit euclidien?
Petit rajout, en fait quelques soient X, Y tels que A=XY, on a forcément X et Y inversibles, car det(A)=det(X)det(Y), et vu que det(A) et det(B) sont premiers entre eux, det(A) différent de 0, donc det(X) et det(Y) aussi.
Désolé, j'ai oublié d'ajouter une phrase : "Il existe un C qui engendre le même idéal que celui engendré par A et B donc on a X et Y tels que..."Sylvestre, si je prend, avec tes notations, C=I, X=A et Y=B, ça avance à quoi?
Que Mn(Z) soit principal ou non, j'ai trouvé un C, un X et un Y.
J'y travaille, je suis une piste consistant à regarder une cellule du réseau engendré par A ou B. J'espère que je vais aboutir.Le seule difficulté ici résoud dans le fait de prouver que tout idéal est principal (ce que justement tu essaies de faire, et je l'espère, avec succès
Est-ce que euclidien veut bien dire qu'il existe un algorithme de division comme dans l'algorithme d'Euclide ? Si c'est le cas, c'est ce que j'essaie de montrer pour prouver que Mn(Z) est principal. Je pense que c'est le cas.A votre avis, est-ce qu'il y a des chances pour que Mn(Z) soit euclidien?
A bientôt
Oui c'est ça, un anneau A euclidien est un annneau commutatif unitaire intègre dans lequel on peut définir une division euclidienne.
Plus précisement, il existe une application v de A\{0} dans N telle que: pour tout a et b de A, b non nul, il existe un couple (q, r) de A² tel que a = bq + r avec r nul ou v(r) < v(b) (dans Z v est la valeur aboslue, dans lK[X] v peut être l'application qui a un polynôme associe son degré, etc.).
Et on a bien sur que tout anneau euclidien est principal.
C'est drole tu poses la question et tu y réponds.
Si Mn(Z) était euclidien alors il serait entre autre commutatif, ce qui n'est clairement pas le cas...
Quant à la principalité de l'anneau, j'émet des doutes.
J'avais justement étudié les idéaux de Mn(R) cette année, et il y'en avait très peu de mémoire (je me demande même s'il y'en avait qui étaient non triviaux).
Le problème venait justement de la non commutativité, on trouvait ceux à gauche, ceux à droite, mais les idéaux à gauche et à droite se faisaient rare...
Il faut vraiment qu'on se mette à chercher pour savoir ce qu'il en est. Mais de toutes façon, pour résoudre le problème initial, nous n'avons besoin que des idéaux à gauche.
Je ne suis pas encore au bout, mais voici ce que j'ai fait concernant la principalité de Mn(Z).
Soient A et B deux éléments de Mn(Z). Je veux trouver une matrice C qui engendre le même idéal à gauche que celui engendré par A et B.
Pour cela, je forme la matrice n fois 2n (A|B).
Mon but est de mettre des 0 dans toute la seconde partie de cette matrice en ne faisant que des opérations sur les colonnes. Pour expliquer comment je fais, je commence par expliquer la méthode sur des matrices 2 fois 2.
Soit. Je peux réussir à mettre un 0 dans la case (1,2) en utilisant l'algorithme d'Euclide. Par exemple :
Je peux maintenant appliquer cette technique pour transformer la grand matrice (A|B) en une matrice de la forme (T|0) où T est triangulaire inférieure. Je fais ceci en utilisant la technique ci-dessus successivement sur des sous-matrices de la grande. J'espère que ce n'est pas trop obscur, en tout cas, j'ai appliqué cette méthode sur un exemple et cela marche.
Ce résultat montre qu'il existe U et V telles que AU+BV=T avec T triangulaire inférieure. Il doit y avoir un lien entre le déterminant de A et B et les coefficients diagonaux de T, mais je ne le vois pas pour l'instant.
Bon, c'est là que j'en suis, est-ce que quelqu'un voit comment continuer ?
