polynôme à coefficients dans Z:

[invite7fc34639]

Bonsoir à tous,
Voilà je cherche des cours et accessoirement des exercices qui traiteent
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[invite7fc34639]

oups désoler, j'ai validé le post sans faire exprés, et jai dépassé les 5 minutes de modification...

donc voilà ce que je voulais dire

Bonsoir à tous,
je cherche des cours qui parle des polynômes à coefficient dans Z/nZ, mais pas moyen de tomber dessus sur le net.
alors si quelqu'un connaissait une adresse et pouvait me la donner, je lui en serai gré.

A contrario, si vous pouviez m'expliquer comment traiter cette exercice:
-Donner la liste de tout les polynômes de degrés 1, 2 et3 a coef dans F2=Z/2Z et dire si ils sont irréductible ou non dans F2[x].

merci

[inviteca3a9be7]

Salut,


Des polynomes de d° n dans Z/2Z y'a a 2^n

d°1 : X et X+1 irréductibles
d°2 : Si P est irreductibles alors P = QR avec d°Q=d°R=1, les non irréductibles sont donc X*X, X*(X+1) et (X+1)²=X²+1. Seul X²+X+1 est irréductible.
d°3 : ...... tout pareil (mais plus de cas)

[invite7fc34639]

ah d'accord merci de ton aide.
sinon on me demande de dire si le polynôme X^4+X²+1 admet des racines dans Z/2Z.
on a Z/2Z = {0,1}
donc P(0)=1 et P(1)=1 car 1^4=0 et 1²=0 dans Z/2Z, donc le polynôme n'admet pas de racine et est irréductible dans Z/2Z.
c'est sans doute trivial mais je demande confirmation de mon résultat.
merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca3a9be7]

Re,


Gasp , me dis pas que tu confonds sans racine et irréductible


Que penses-tu de (X²+X+1)² dans Z/Z2 ((et de X²+1) dans IR) ?

[invite7fc34639]

ah mince,
X²+1 est irréductible dans R
et (X²+X+1)² est aussi irréductible dans Z/2Z même si il admet 1 comme racine.
j'ai juste
mais bon honnétement j'arrive pas à démontrer (rigoureusement et pas intuitivement) que X²+X+1 est irréductible. Est ce que je doit faire la démonstration en utilisant la condition :
P irréductible si P=QR => Q ou R constant?
Mais honnétement ca me perturbe de travailler dans Z/2Z.
merci.

[inviteca3a9be7]

Salut,


Je voulais écrire (X²+1)² dans IR. C'est un polynome qui n'admet pas de racine mais qui n'est pas irréductible.

(X²+X+1)² = X^4+X²+1 n'est pas irréductible dans Z/2Z, puisqu'il est le produit de 2 polynomes (irréductibles des surcroit) de d° >= 1.

X²+X+1 est bien irreductible : on a fait tous les produits des polynome irréductibles de d°1 et on l'a pas trouvé en route !

[invite7fc34639]

merci de ton aide, c'est deja plus claire maintenant
bonne continuation à toi.