résolution d'équation du type X^3*exp(X+C) = C1

[invited7445d18]

Bonjour à toutes et à tous !!!
Il y aurait une personne qui pourrait m'aider à résoudre ce type d'équation:

X^3*exp(X+Constante) = Constante1

Merci

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[invitea77054e9]

A mon avis, ça risque d'être difficile d'exhiber l'ensemble des solutions de cette équation.

Maple me sort une fonction LambertW définie par LambertW(x)*exp(LambertW(x))=x et me donne comme solution:

3*LambertW(1/3*c2^(1/3)*exp(-1/3*c1)), 3*LambertW(1/6*c2^(1/3)*exp(-1/3*c1)*(-1+I*sqrt(3))), 3*LambertW(-1/6*c2^(1/3)*exp(-1/3*c1)*(1+I*sqrt(3))), formule un peu barbare je l'avoue.

Peut-être quelqu'un d'autre pourra-t-il t'en dire plus.

[invitec5b86fa9]

Salut,

tout d'abord ton problème se réduit à x^3*exp(x)=a où a est dans R. En effet exp(x+C)=exp(C)*exp(x) et ensuite on passe de l'autre coté.

on peut commencer par discuter du nombre de solutions de l'équation.

pour cela on étudie la fonction f : x|->x^3*exp(x)

on obtient donc après calcul de la dérivée, étude du signe, puis étude aux limites de f :

f décroissante sur ]-inf,-3]
f croissante sur [-3,+inf[

de plus f(0)=0

f réalise une bijection de ]-inf,-3] sur [f(-3),0[
f realise une bijection de [-3,+inf[ sur [f(-3),+inf[

donc f(R)=[f(-3),+inf[

finalement on obtient (on peut tracer la fonction et c'est tout de suite plus clair) :

a est dans ]-inf,f(-3)[ : pas de solution
a =f(-3) : une seule solution -3
a est dans ]f(-3),0[ : deux solutions, une dans ]-inf,-3[, l'autre dans ]-3,0[
a est dans [0,+inf[ : une seule solution

pour avoir les solutions il faut ensuite faire une étude numérique, a moins qu'on puisse trouvé une expression de x en fonction de a sur certains intervalles.

[invited7445d18]

Tout d'abord je tiens à vous remerciez tous les 2 de votre aide.
Pour répondre à Space-Kro, comment tu veux que je trouve les solution numérique?
il faut que je résoud avec un logiciel?
Apparement cela a été fait sous Maple et cela donne des choses pas gays

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec5b86fa9]

ça se fait simplement avec une calculette qui fait des tableaux de valeurs (style Ti 80 au plus bas pour les texas, casio connais pas...)

tu mets la courbe y(x)=x^3*exp(x) dans le graphe et tu vas dans la table.

si a=1.2 par exemple tu sais donc qu'il n'y qu'une seule solution dans [0,+inf[
tu commences donc ton tableau a 0 et mets un pas de 1

si tu as par exemple (j'ai pas pris de vrais valeurs)

x y(x)
0 0
1 0.2
2 1
3 1.5

tu sais donc que ta solution est dans ]2,3[

tu refais donc un autre tableau qui commence à 2 avec un pas de 0,1 et tu réapliques cette méthode pour trouver un encadrement au dixième de ta solution.

tu vas ainsi aussi loin que ta calculatrice te le permet...

voili voilou.

[invitead065b7f]

Salut,

Tu peux aussi demander à Maple d'évaluer numériquement ses fonction de Lambert.... Ou faire un fsolve qui résoud numériquement. Ta calculatrice le fait peut-être aussi (la résolution numérique)


Amicalement
Moma