équations différentielles

[invite69baa1f1]

Besoin d'aide pour résoudre une équation différentielle, je ne me souviens plus de la méthode pour la résoudre, je n'ai pas de cours avec moi, pouvez-vous m'aider, svp?

Soit l’équation différentielle :

(E) (1 + x )y’ – y = ln (1/(1 + x))

où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0, + infini[.

1. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle

(E’) ( 1 + x )y’ – y = 0

2. Déterminer la fonction f, solution particulière de l’équation (E), définie sur [0, + infini[ par :

f(x) = ln ( 1 +x ) + C
Où C est une constante réelle à déterminer.

3. En déduire la solution générale de l’équation (E).

4. Déterminer la fonction P, solution de l’équation (E) vérifiant :

P(0) = 0

Merci
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[Bleyblue]

Salut,

Pour le 1) il suffit de séparer les variables
Pour le 2) il suffit d'injecter y dans l'équation et de déterminer la valeur de C

Fais déja ça

[indian58]

Qu'est-ce que tu arrives à faire?

[invite69baa1f1]

Résolution de l'équation sans second membre:

(1+x)y'-y = 0

(1+x)y'=y y'= (y/(1+x))

f(x)= 1/(1+x) F(x)= ln(1+x) car 1+x> 0

La solution générale de l'équation différentielle sans second membre est:

x1(t)=ke (ln(1+x) avec k E R
x1(t)=k (1+x)

Est-ce la bonne méthode? Est-ce juste?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

C'est bon
Maintenant tu trouves une solution particulière grâce à l'indiquation donnée en 2) et ta solution générale sera égale à cette fonction + k(1 + x)

[invite69baa1f1]

là, je suis perdue, faut-il que je dérive la fonction f(x) = ln (1+x) ?

La solution générale serait égale à:
x2(t)=1/(1+x) +k(1+x) ?

[Bleyblue]

Eh bien ton équation c'est :

(1 + x )y’ – y = ln (1/(1 + x))

et tu cherches C tel que y = ln ( 1 +x ) + C soit solution
Donc tu remplaces y par par ln ( 1 +x ) + C dans ton équation et ça devrait te permettre de déterminer la valeur de la constante C

[invite69baa1f1]

si j'utilise la méthode de variation de la constante, je trouve x2(t)= ln (1+x) (1+x)

donc x(t) = k(1+x) + ln (1+x) (1+x) avec k E R

Je n'arrive pas à faire autrement, tampis je laisse tomber.
Merci pour ton aide!

[ericcc]

Tu n'as pas besoin d'utiliser la variation de la constante car on te donne la solution particulière : f(x). Il te faut simplement trouver la bonne valeur pour C, ainsi qu'on te le demande au 2).

La solution au final s'écrira sous la forme f(x)+k(1+x)

Attention : ta solution particulère est fausse.

[invite82d630ea]

Ton équation est non résolue sur tout R, car (1+x) s'assule en -1 pense bien à séparer en deux intervalles puis à faire un raccordement

[invite82d630ea]

désolé mal lu l'énnoncé y'a pas de problème ici en -1

[Bleyblue]

Ton équation est non résolue sur tout R, car (1+x) s'assule en -1 pense bien à séparer en deux intervalles puis à faire un raccordement

Pourquoi faire ? Je n'ai plus fait d'équadiff. depuis un petit temps mais il ne me semble pas avoir jamais dû faire cela ...

Et tu n'as pas besoins de la méthode de variation de la constante Emmanuelle, cette méthode ne sert que lorsque tu n'as aucune idée de la forme d'une solution particulière (ce qui n'est pas le cas ici)

[invite82d630ea]

désolé ici le problème ne se pose pas

[Bleyblue]

Ok désolé je n'avais pas vu ton deuxième message

[invite82d630ea]

tu dois trouver C=-1

[invite82d630ea]

C=1 pardon

[invite69baa1f1]

je n'arrive pas à trouver c=1 meme si je remplace dans l'équation complète y= ln (1+x) +C

[invite82d630ea]

f'(x)=1/(1+x)
tu injectes dans l'équation complète
tu trouves 1-ln(1+x)-C=ln(1/(1+x))
or -ln(1+x)=ln(1/(1+x))
d'où 1-C=0 donc C=1

non?

[invite69baa1f1]

La solution particulière s'écrit donc:

x2(t) = ln (1+x)

Donc la solution générale de l'équation s'écrit:

x(t)= x1(t) + x2(t)
x(t)= k (1+x) + ln (1+x) avec k E R ??

[invite82d630ea]

tu as oublié le C non?

[invite69baa1f1]

oui...

x(t) = k(1+x) + ln (1+x) +1

[ericcc]