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équations différentielles



  1. #1
    Emmanuelle31

    Question équations différentielles


    ------

    Besoin d'aide pour résoudre une équation différentielle, je ne me souviens plus de la méthode pour la résoudre, je n'ai pas de cours avec moi, pouvez-vous m'aider, svp?

    Soit l’équation différentielle :

    (E) (1 + x )y’ – y = ln (1/(1 + x))

    où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0, + infini[.

    1. Déterminer la solution générale de l’équation différentielle

    (E’) ( 1 + x )y’ – y = 0

    2. Déterminer la fonction f, solution particulière de l’équation (E), définie sur [0, + infini[ par :

    f(x) = ln ( 1 +x ) + C
    Où C est une constante réelle à déterminer.

    3. En déduire la solution générale de l’équation (E).

    4. Déterminer la fonction P, solution de l’équation (E) vérifiant :

    P(0) = 0

    Merci

    -----

  2. #2
    Bleyblue

    Re : équations différentielles

    Salut,

    Pour le 1) il suffit de séparer les variables
    Pour le 2) il suffit d'injecter y dans l'équation et de déterminer la valeur de C

    Fais déja ça

  3. #3
    indian58

    Re : équations différentielles

    Qu'est-ce que tu arrives à faire?

  4. #4
    Emmanuelle31

    Question Re : équations différentielles

    Résolution de l'équation sans second membre:

    (1+x)y'-y = 0

    (1+x)y'=y y'= (y/(1+x))

    f(x)= 1/(1+x) F(x)= ln(1+x) car 1+x> 0

    La solution générale de l'équation différentielle sans second membre est:

    x1(t)=ke (ln(1+x) avec k E R
    x1(t)=k (1+x)

    Est-ce la bonne méthode? Est-ce juste?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Bleyblue

    Re : équations différentielles

    C'est bon
    Maintenant tu trouves une solution particulière grâce à l'indiquation donnée en 2) et ta solution générale sera égale à cette fonction + k(1 + x)

  7. #6
    Emmanuelle31

    Question Re : équations différentielles

    là, je suis perdue, faut-il que je dérive la fonction f(x) = ln (1+x) ?

    La solution générale serait égale à:
    x2(t)=1/(1+x) +k(1+x) ?

  8. #7
    Bleyblue

    Re : équations différentielles

    Eh bien ton équation c'est :

    (1 + x )y’ – y = ln (1/(1 + x))

    et tu cherches C tel que y = ln ( 1 +x ) + C soit solution
    Donc tu remplaces y par par ln ( 1 +x ) + C dans ton équation et ça devrait te permettre de déterminer la valeur de la constante C

  9. #8
    Emmanuelle31

    Question Re : équations différentielles

    si j'utilise la méthode de variation de la constante, je trouve x2(t)= ln (1+x) (1+x)

    donc x(t) = k(1+x) + ln (1+x) (1+x) avec k E R

    Je n'arrive pas à faire autrement, tampis je laisse tomber.
    Merci pour ton aide!

  10. #9
    ericcc

    Re : équations différentielles

    Tu n'as pas besoin d'utiliser la variation de la constante car on te donne la solution particulière : f(x). Il te faut simplement trouver la bonne valeur pour C, ainsi qu'on te le demande au 2).

    La solution au final s'écrira sous la forme f(x)+k(1+x)

    Attention : ta solution particulère est fausse.

  11. #10
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    Ton équation est non résolue sur tout R, car (1+x) s'assule en -1 pense bien à séparer en deux intervalles puis à faire un raccordement

  12. #11
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    désolé mal lu l'énnoncé y'a pas de problème ici en -1

  13. #12
    Bleyblue

    Re : équations différentielles

    Citation Envoyé par "Theby
    Ton équation est non résolue sur tout R, car (1+x) s'assule en -1 pense bien à séparer en deux intervalles puis à faire un raccordement
    Pourquoi faire ? Je n'ai plus fait d'équadiff. depuis un petit temps mais il ne me semble pas avoir jamais dû faire cela ...

    Et tu n'as pas besoins de la méthode de variation de la constante Emmanuelle, cette méthode ne sert que lorsque tu n'as aucune idée de la forme d'une solution particulière (ce qui n'est pas le cas ici)

  14. #13
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    désolé ici le problème ne se pose pas

  15. #14
    Bleyblue

    Re : équations différentielles

    Ok désolé je n'avais pas vu ton deuxième message

  16. #15
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    tu dois trouver C=-1

  17. #16
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    C=1 pardon

  18. #17
    Emmanuelle31

    Angry Re : équations différentielles

    je n'arrive pas à trouver c=1 meme si je remplace dans l'équation complète y= ln (1+x) +C

  19. #18
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    f'(x)=1/(1+x)
    tu injectes dans l'équation complète
    tu trouves 1-ln(1+x)-C=ln(1/(1+x))
    or -ln(1+x)=ln(1/(1+x))
    d'où 1-C=0 donc C=1

    non?

  20. #19
    Emmanuelle31

    Question Re : équations différentielles

    La solution particulière s'écrit donc:

    x2(t) = ln (1+x)

    Donc la solution générale de l'équation s'écrit:

    x(t)= x1(t) + x2(t)
    x(t)= k (1+x) + ln (1+x) avec k E R ??

  21. #20
    Tcheby

    Re : équations différentielles

    tu as oublié le C non?

  22. #21
    Emmanuelle31

    Smile Re : équations différentielles

    oui...

    x(t) = k(1+x) + ln (1+x) +1

  23. #22
    ericcc

    Re : équations différentielles


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