Bonjour, suite à un défi Facebook, je tente de résoudre un problème de physique mais je bloque à un endroit car je tombe sur une équation différentielle de la forme : y' = A.y² + B
Ne sachant pas résoudre ce type d'équation, je me suis tourné vers Google pour trouver un cours, je suis tombé notamment sur cette page, seulement voilà : Si j'applique le 1er cas (Equation de Bernoulli), j'obtiens :
y'/y² = A + B/y² (E)
z' = y^(1-2) = 1/y
y'/y² = -(1/y)' = -z'' et 1/y² = (z')²
=> -z'' = A + B.(z')² (E)
Donc je tourne en rond car j'ai encore un terme au carré.
Si j'applique le 2ème cas (Equation de Riccati), je ne vois qu'une solution particulière : Une constante (Que l'on note C), ce qui donne :
y = C + z => z' = y' - 0 = y'
z' = A.(C + z)² + B (E)
z' = A.(C² + 2.C.z + z²) + B
z' = A.C² + 2.A.C.z + A.z² + B
z' = A.z² + 2.A.C.z + (B + A.C²)
On retombe sur le 1er cas, que j'applique alors de nouveau :
z'/z² = A + (2.A.C)/z + (B + A.C²)/z² (E)
On pose s' = z^(1-2) = 1/z
z'/z² = -(1/z)' = -s'' et 1/z² = (s')²
=> -s'' = A + (2.A.C).s' + (B + A.C²).(s')² (E)
Bref, je ne suis pas plus avancé, je tourne encore en rond.
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