Equations différentielles non linéaires
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Equations différentielles non linéaires



  1. #1
    CaptainElec

    Equations différentielles non linéaires


    ------

    Bonjour, suite à un défi Facebook, je tente de résoudre un problème de physique mais je bloque à un endroit car je tombe sur une équation différentielle de la forme : y' = A.y² + B
    Ne sachant pas résoudre ce type d'équation, je me suis tourné vers Google pour trouver un cours, je suis tombé notamment sur cette page, seulement voilà : Si j'applique le 1er cas (Equation de Bernoulli), j'obtiens :

    y'/y² = A + B/y² (E)

    z' = y^(1-2) = 1/y
    y'/y² = -(1/y)' = -z'' et 1/y² = (z')²

    => -z'' = A + B.(z')² (E)

    Donc je tourne en rond car j'ai encore un terme au carré.

    Si j'applique le 2ème cas (Equation de Riccati), je ne vois qu'une solution particulière : Une constante (Que l'on note C), ce qui donne :

    y = C + z => z' = y' - 0 = y'

    z' = A.(C + z)² + B (E)
    z' = A.(C² + 2.C.z + z²) + B
    z' = A.C² + 2.A.C.z + A.z² + B
    z' = A.z² + 2.A.C.z + (B + A.C²)

    On retombe sur le 1er cas, que j'applique alors de nouveau :

    z'/z² = A + (2.A.C)/z + (B + A.C²)/z² (E)

    On pose s' = z^(1-2) = 1/z
    z'/z² = -(1/z)' = -s'' et 1/z² = (s')²

    => -s'' = A + (2.A.C).s' + (B + A.C²).(s')² (E)

    Bref, je ne suis pas plus avancé, je tourne encore en rond.

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Bonjour.

    Il s'agit d'une équation à variables séparables. On l'écrit sous la forme

    on intègre (plusieurs cas suivant les valeurs de A et B, mais tu les connais peut-être), on obtient quelque chose de la forme f(y)+C=x, et on inverse f si c'est possible.

    Cordialement.

  3. #3
    CaptainElec

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Merci, mais je ne parviens pas à intégrer cette expression

  4. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Voir les primitives de et ; le cas B=0 est simple.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    CaptainElec

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Dans mon cas, B n'est pas nul malheureusement, sinon l'intégration aurait été effectivement simple :

    Une primitive de est égale à pour x > 1

    P.S : Comment fait-on pour représenter des symboles mathématiques dans les messages, comme les barres de fraction ?

  7. #6
    CaptainElec

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Et s'intègre par pour x réel

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Donc suivant les cas de valeurs de A et B (je suppose que A non plus n'est pas nul), tu peux te ramener à l'une des deux formes que tu connais :

    Où f' est une fonction simple, primitivable :

    Et suivant son signe,
    ou
    et on fait le changement de variable x=ct.

    Comme souvent, on a besoin d'une bonne technique d'intégration, si on veut traiter des équations différentielles.

    Pour le LaTeX, il y a des documents un peu partout, dont un sur ce forum : http://forums.futura-sciences.com/ma...res-forum.html; tu peux aussi ouvrir un message en comportant (celui-ci par exemple) en mode "répondre avec citation".

    Cordialement.

  9. #8
    CaptainElec

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Merci beaucoup pour l'aide, j'ai enfin trouvé : Je n'avais pas tilté de suite mais l'expression est proche de la forme , qui s'intègre par , il m'a suffi de transformer l'expression pour pouvoir l'intégrer. Merci pour le coup de pouce

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Equations différentielles non linéaires

    Attention : Si A et B ne sont pas de même signe, c'est u²-1 qui sert ...

  11. #10
    CaptainElec

    Re : Equations différentielles non linéaires

    A et B sont de même signe dans mon cas

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