Calcul différentiel sur une surface

[momoyoyo]

Bonjour
Soit une surface paramétrée définie par sa paramétrisation :
soit une fonction definie sur par

Je voudrais calculer sa différentielle au point P=(1,2,4)
on sait que X(1,2)=P mais comment continuer? merci
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[Universus]

Bonjour,

Si est un paramétrage, alors calculer la différentielle de en un point signifie calculer la différentielle de au point (cette préimage est unique par définition de paramétrage).

Il devrait être assez facile de calculer la différentielle ici. Cependant, votre message semble comprendre quelques erreurs : si , alors et ... En fait, le point (1,2,4) n'appartient pas à l'image de la fonction X que vous avez définie...

[momoyoyo]

oh je me suis trompé P=(1,4,8) désolé

[momoyoyo]

est-ce que ça est juste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

C'est bon. Plus rapidement encore, nous avons . Si , alors cette composition est différentiable et la matrice jacobienne vaut clairement . C'est vrai a fortiori au point .

[momoyoyo]

le probleme ici que est une application linéaire de vers et pas de vers

[gg0]

ailleurs ...

[momoyoyo]

une réponse svp

[Universus]

Je suis tout à fait d'accord avec les réponses apportées dans l'autre fil auquel gg0 réfère. Cependant, je vais ajouter quelques éléments ici.

La fonction X définit une surface (singulière) dans . La fonction f s'avère définie sur tout et elle est, conséquemment, définie sur l'image de X, à savoir . Le fait que la fonction f soit définie dans un voisinage permet de donner un sens à ; si ce n'avait pas été le cas, il faudrait se contenter de donner un sens à .

La signification d'une matrice jacobienne est donnée par son action sur un vecteur de son domaine, action donnant pour résultat la dérivée directionnelle de dans la direction de . Ainsi, si nous connaissions une base de l'espace vectoriel et si nous connaissions la dérivée directionnelle de f dans les directions de x et de y, par linéarité, nous connaîtrions la jacobienne de f au point p.

La jacobienne du paramétrage X envoie les vecteurs des bases de basés au point sur une base du plan tangent . Nous voudrions ainsi calculer les dérivées directionnelles de f le long de et de . Or, l'application étant inversible, nous pouvons montrer que ces dérivées sont les mêmes que les dérivées directionnelles de le long de et de .

J'imagine que vous comprenez le raisonnement ci-dessus dans le cas où f est définie dans un voisinage de S, mais que vous doutez un peu de la validité du raisonnement lorsque f n'est définie que sur S. Dans ce cas, définissez comme étant sa « lecture » par un paramétrage, c'est-à-dire comme étant avec . Modulo quelques technicités qu'on apprend dans un cours de géométrie différentielle, il s'avère que le choix de paramétrage X n'est pas important.

Dans un sens, la surface est définie par l'ensemble de ses paramétrages et une fonction définie sur f est en fait une famille compatible de fonctions telles que . Chaque représente f, un peu à la manière qu'une matrice représente une application linéaire lorsqu'une base est sélectionnée.