Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

**Anonyme007** · 25/02/2018, 13h07

Bonjour à tous,

D'après mon cours de géométrie algébrique :
Une variété grassmannienne $\text{[math]}$ peut être recouverte de sous ensembles ouverts de Zariski isomorphe à l'espace affine : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ .
Pour le voir, on fixe un $\text{[math]}$ - sous espace $\text{[math]}$ , et on considère le sous ensemble de $\text{[math]}$ -plans qui ne rencontrent pas $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est un ouvert.
On choisit un point arbitraire : $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -plan complémentaire à $\text{[math]}$ ( i.e : $\text{[math]}$ )
On a finalement : $\text{[math]}$ par l'isomorphisme : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
La sous flèche : $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ projette isomorphiquement $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ .
La sous flèche : $\text{[math]}$ est la flèche : $\text{[math]}$ est la projection parallèlement à $\text{[math]}$ .

Voici où je n'arrive pas à suivre :
Toujours d'après mon cours, et de manière explicite : on choisit une base $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ est une base pour $\text{[math]}$ suivi de $\text{[math]}$ une base de $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ est un $\text{[math]}$ -plan, alors, $\text{[math]}$ est une base pour $\text{[math]}$ .
Alors, mon cours affirme que $\text{[math]}$ is the ''row space'' of the matrix : $\text{[math]}$ .

Alors, ma question, quel est le sens de l'expression ''row space'', et pourquoi : $\text{[math]}$ est le ''row space'' de $\text{[math]}$ ?

Merci infiniment pour votre éclairage.

**AncMath** · 25/02/2018, 13h25

Un élément de $\text{[math]}$ est identifé à une application linéaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , en effet une telle application a un graphe $\text{[math]}$ qui est un sous espace de $\text{[math]}$ la projection de ce graphe sur $\text{[math]}$ est un isomorphisme.
On peut ecrire l'image de $\text{[math]}$ dans ce graphe, c'est à dire écrire les coordonnées de $\text{[math]}$ dans la décomposition $\text{[math]}$ .
Les lignes de la matrice sont les coordonnées de cette base de $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ , dans la base $\text{[math]}$ .

invite5357f325 · 25/02/2018, 13h31

Le "Row space" de M est l'espace vectoriel engendrés par les lignes de M. Deuxièmement la projection que tu considère n'est pas inversible, je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire $\text{[math]}$ . Aurais tu un lien vers ton cours ?

**Anonyme007** · 25/02/2018, 13h37

Ah d'accord, merci beaucoup AncMath.

... et donc, ton $\text{[math]}$ est représenté par la sous matrice : $\text{[math]}$ , de la matrice : $\text{[math]}$ , non ?

edit : Croisement avec le message de petrifie. Pardon.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**AncMath** · 25/02/2018, 13h41

Les notations utilisées sont un peu pénibles $\text{[math]}$ n'est pas inversible, mais la restricton de $\text{[math]}$ à $\text{[math]}$ l'est.
Il faudrait faire un dessin, ce serait 10 000 fois mieux, mais la situation est très simple. Tu prend $\text{[math]}$ une application linéaire de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , tu vois son graphe comme un k-espace de $\text{[math]}$ . La projection sur $\text{[math]}$ parallèlement à $\text{[math]}$ induit un isomorphisme du graphe sur $\text{[math]}$ , les applications en questions sont juste $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ bien sur inverses l'une de l'autre.

**Anonyme007** · 25/02/2018, 13h43

Envoyé par petrifie

Le "Row space" de M est l'espace vectoriel engendrés par les lignes de M. Deuxièmement la projection que tu considère n'est pas inversible, je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire $\text{[math]}$ . Aurais tu un lien vers ton cours ?

C'est à la page : $\text{[math]}$ du lien suivant : https://scholar.harvard.edu/files/jo...final-3264.pdf .

**AncMath** · 25/02/2018, 14h08

Si tu veux une autre descritpion de la Grassmannienne, tu peux lire ce que j'avais écrit ici
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5912628

**Anonyme007** · 26/02/2018, 13h41

Merci AncMath.

S'il vous plait, si on considère $\text{[math]}$ un $\text{[math]}$ - plan, de $\text{[math]}$ un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ , et si $\text{[math]}$ est un drapeau complet de $\text{[math]}$ . Pourquoi, alors :
Si $\text{[math]}$ est en position générale, alors : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ?

Merci pour votre éclairage.

**AncMath** · 26/02/2018, 14h03

Parce que ce sont des conditions fermées.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 14h08

Je n'ai pas compris ce que tu entends par conditions fermées.

**AncMath** · 26/02/2018, 14h13

Que les sous ensemble qu'elles définissent sont fermés.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 14h23

Oui, mais tu peux m'expliquer pourquoi si $\text{[math]}$ est en position générale, alors : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ? Je ne saisis pas bien le rôle de fermetude dans cette histoire.

**AncMath** · 26/02/2018, 14h39

Ça veut dire quoi pour toi en position générale ?

**Anonyme007** · 26/02/2018, 14h44

Pardon, pas en position générale, je me suis trompé dans la traduction. Par générale, j'entends appartenir à un ouvert dense de la Grassmanienne.

**AncMath** · 26/02/2018, 14h46

Envoyé par Anonyme007

Je ne saisis pas bien le rôle de fermetude dans cette histoire.

Envoyé par Anonyme007

Par générale, j'entends appartenir à un ouvert dense de la Grassmanienne.

$\text{[math]}$

**Anonyme007** · 26/02/2018, 14h54

Je n'ai pas compris ce que cela a avoir avec la question que j'ai posé, à savoir :
Pourquoi si $\text{[math]}$ est générale, alors : $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ?

**AncMath** · 26/02/2018, 15h37

Tu ne comprend pas ce que ca à avoir de dire qu'un k-plan general est dans un ouvert de la grassmannienne, et de dire que les k-plans qui ne satisfassent pas ces conditions forment un fermé.
Dit autrement, comprend tu que la proposition que tu cites veut simplement dire l'ensemble des k-plans qui sont d'intersection nulle avec $\text{[math]}$ est ouverte pour i plus petit que n-k.
L'ensemble des k-plans pour lesquels intersection avec $\text{[math]}$ est de dimension i est ouvert pour i plus grand que n-k.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 15h55

D'accord, merci. Mais quant a-t-on normalement : $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ ?
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on choisit des formules si compliquées en tant que telles ?. ... Pour les utiliser dans quelles circonstances ?.
Je rappelle que ces formules apparaissent naturellement dans le cadre définissant la notion de variété de Schubert.

**AncMath** · 26/02/2018, 16h01

Ben c'est toi qui lis ton bouquin, pas moi. Regarde pourquoi ils introduisent ces conditions.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 16h43

Pour que tu comprennes le contexte de tout ça, voici ce qui est dit dans mon cours :

Let $\text{[math]}$ be the Grassmannian of $\text{[math]}$ -dimentional subspaces of an $\text{[math]}$ -dimentional vector space $\text{[math]}$ .
The center of our study will be a collection of sub-varieties of $\text{[math]}$ called Schubert varieties defined in terms of a chosen complete flag $\text{[math]}$ in $\text{[math]}$ that is : a nested sequence of subspaces : $\text{[math]}$ , with $\text{[math]}$ .

For any sequence $\text{[math]}$ of integers with : $\text{[math]}$ , we define the Schubert cycle $\text{[math]}$ to be the closed subset $\text{[math]}$

To elucidate the rather awkward-looking definition of $\text{[math]}$ , suppose that $\text{[math]}$ is a $\text{[math]}$ -plan. If $\text{[math]}$ is general, then $\text{[math]}$ for $\text{[math]}$ , while $\text{[math]}$ for $\text{[math]}$ . Thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

Equivalently, we may consider the sequence of subspaces of $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Each subspace in this sequence is either equal to the one before it, or of dimension one greater, and the latter phenomenon ocurs exatly $\text{[math]}$ times.

The Schubert variety $\text{[math]}$ is the locus of planes $\text{[math]}$ for which the $\text{[math]}$ jump in the sequence : $\text{[math]}$ occurs at least $\text{[math]}$ steps early.

Voici donc le texte que j'ai du mal à comprendre.

Mes questions sont les suivantes :

Alors, je n'ai pas compris tout ce paragraphe relevé dans ce texte :

To elucidate the rather awkward-looking definition of $\text{[math]}$ , suppose that $\text{[math]}$ is a $\text{[math]}$ -plan. If $\text{[math]}$ is general, then $\text{[math]}$ for $\text{[math]}$ , while $\text{[math]}$ for $\text{[math]}$ . Thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

Equivalently, we may consider the sequence of subspaces of $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ . Each subspace in this sequence is either equal to the one before it, or of dimension one greater, and the latter phenomenon ocurs exatly $\text{[math]}$ times.

The Schubert variety $\text{[math]}$ is the locus of planes $\text{[math]}$ for which the $\text{[math]}$ jump in the sequence : $\text{[math]}$ occurs at least $\text{[math]}$ steps early.

Peux tu me rendre claire tout ce paragraphe s'il te plaît ?

Par exemple, je ne comprends pas ça :

Thus we may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.

C'est comme du Charabia pour moi ça.

J'ai du mal à visualiser ça dans mon imagination.

**AncMath** · 26/02/2018, 16h48

Je vois pas comment expliquer mieux, ce qui est dit est tres clair.
Tu interecte F avec un drapeau, on s'attend à ce que les intersections soient nulles jusqu'a qu'elles augmentent de 1 à chaque fois, si tu fais un dessin au hasard c'est ce que tu trouveras.
Bien sur ca n'est pas vrai en general. Il y a plein de situations intermédiaires possibles, et les multi-indices les décrivent.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 17h27

Quel est le sens de cette phrase s'il te plaît :
... We may describe $\text{[math]}$ as the set of $\text{[math]}$ such that $\text{[math]}$ occurs for a value of $\text{[math]}$ that is $\text{[math]}$ steps sooner than expected.
?

**AncMath** · 26/02/2018, 17h38

Ben ce que je t'ai dit plus haut, on s'attend à ce que les dimensions aient la forme (0,0,..,0,1,2,...,k) avec n-k zéros au debut. L'ensemble décrit par le multi-indice (a_1,...,a_k) c'est celui pour lequel le saut de 0 à 1 ne s'effectue pas en n-k, mais a_1 coup plus tot, le saut de 1 à 2 ne s'effectue pas en n-k+1 mais a_2 coup plus tot etc.
Par exemple, pour un 2-plan dans un espace de dimension 4, la liste des dimensions des intesections avec un drapeau est typiquement (0,0,1,2).
Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1), un pour qui c'est (0,1,2,2) correspond à (1,1), un pour qui s'est (0,1,1,2) correspond à (1,0), un pour qui la liste est (1,1,1,2) correspond à (2, 0), il reste un cas à traiter, vois tu lequel ?

**Anonyme007** · 26/02/2018, 18h09

Je n'arrive pas à suivre :

Envoyé par AncMath

Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1) ...

Pourquoi ?

Pardon, je coince vite dans ce calcul.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 18h28

Envoyé par AncMath

Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1)

Si le multi-indice est $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ devient : $\text{[math]}$ puisque comme je le comprends, le saut $\text{[math]}$ s’effectue : $\text{[math]}$ pas en arrière dans $\text{[math]}$ , et ça donne : $\text{[math]}$ , puis le saut : $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ s'effectue $\text{[math]}$ pas en arrière, appliquée à $\text{[math]}$ , ça donne, $\text{[math]}$ , non ?

**Anonyme007** · 26/02/2018, 18h39

Envoyé par AncMath

un pour qui c'est (0,1,2,2) correspond à (1,1)

$\text{[math]}$

Envoyé par AncMath

un pour qui la liste est (1,1,1,2) correspond à (2, 0)

$\text{[math]}$ ( Pourquoi tu as écris $\text{[math]}$ , et non $\text{[math]}$ ? )
non ?

**AncMath** · 26/02/2018, 19h03

Tu crois que la liste (1,2,1,2) est possible ?

**Anonyme007** · 26/02/2018, 19h13

Non, parce que la liste $\text{[math]}$ n'est pas dressé en suivant un ordre croissant. On a : $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ , et le $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ dans ce : $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ n'est pas dans un ordre croissant, non ? Alors, comment tu as trouvé $\text{[math]}$ au lieu de $\text{[math]}$ dans ce cas là ?.

**Anonyme007** · 26/02/2018, 20h25

Help please.

**AncMath** · 27/02/2018, 11h31

C'est un ptit exercice tres simple, prend un papier et un crayon et tu devrais y arriver. Dessine un drapeau. Et regarde les différents cas possible.
Fait d'abord ça pour une droite dans l'espace, ensuite il te sera facile de traiter le cas général.

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