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Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

  1. #1
    Anonyme007

    Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Bonjour à tous,

    D'après mon cours de géométrie algébrique :
    Une variété grassmannienne peut être recouverte de sous ensembles ouverts de Zariski isomorphe à l'espace affine : avec un espace vectoriel de dimension .
    Pour le voir, on fixe un - sous espace , et on considère le sous ensemble de -plans qui ne rencontrent pas : .
    est un ouvert.
    On choisit un point arbitraire : :
    est un -plan complémentaire à ( i.e : )
    On a finalement : par l'isomorphisme : avec : .
    La sous flèche : est avec : projette isomorphiquement dans .
    La sous flèche : est la flèche : est la projection parallèlement à .

    Voici où je n'arrive pas à suivre :
    Toujours d'après mon cours, et de manière explicite : on choisit une base pour telle que est une base pour suivi de une base de . Si est un -plan, alors, est une base pour .
    Alors, mon cours affirme que is the ''row space'' of the matrix : .

    Alors, ma question, quel est le sens de l'expression ''row space'', et pourquoi : est le ''row space'' de ?

    Merci infiniment pour votre éclairage.

    -----

    Dernière modification par Anonyme007 ; 25/02/2018 à 12h11.

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  3. #2
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Un élément de est identifé à une application linéaire de dans , en effet une telle application a un graphe qui est un sous espace de la projection de ce graphe sur est un isomorphisme.
    On peut ecrire l'image de dans ce graphe, c'est à dire écrire les coordonnées de dans la décomposition .
    Les lignes de la matrice sont les coordonnées de cette base de : , dans la base .
    Dernière modification par AncMath ; 25/02/2018 à 12h28.

  4. #3
    petrifie

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Le "Row space" de M est l'espace vectoriel engendrés par les lignes de M. Deuxièmement la projection que tu considère n'est pas inversible, je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire . Aurais tu un lien vers ton cours ?

  5. #4
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Ah d'accord, merci beaucoup AncMath.
    ... et donc, ton est représenté par la sous matrice : , de la matrice : , non ?

    edit : Croisement avec le message de petrifie. Pardon.

  6. #5
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Les notations utilisées sont un peu pénibles n'est pas inversible, mais la restricton de à l'est.
    Il faudrait faire un dessin, ce serait 10 000 fois mieux, mais la situation est très simple. Tu prend une application linéaire de dans , tu vois son graphe comme un k-espace de . La projection sur parallèlement à induit un isomorphisme du graphe sur , les applications en questions sont juste et bien sur inverses l'une de l'autre.
    Dernière modification par AncMath ; 25/02/2018 à 12h44.

  7. #6
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Citation Envoyé par petrifie Voir le message
    Le "Row space" de M est l'espace vectoriel engendrés par les lignes de M. Deuxièmement la projection que tu considère n'est pas inversible, je ne suis pas sûr de comprendre ce que veut dire . Aurais tu un lien vers ton cours ?
    C'est à la page : du lien suivant : https://scholar.harvard.edu/files/jo...final-3264.pdf .

  8. #7
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Si tu veux une autre descritpion de la Grassmannienne, tu peux lire ce que j'avais écrit ici
    http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5912628

  9. #8
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Merci AncMath.

    S'il vous plait, si on considère un - plan, de un espace vectoriel de dimension , et si est un drapeau complet de . Pourquoi, alors :
    Si est en position générale, alors : pour , et pour ?

    Merci pour votre éclairage.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 12h44.

  10. #9
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Parce que ce sont des conditions fermées.

  11. #10
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Je n'ai pas compris ce que tu entends par conditions fermées.

  12. #11
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Que les sous ensemble qu'elles définissent sont fermés.

  13. #12
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Oui, mais tu peux m'expliquer pourquoi si est en position générale, alors : pour , et pour ? Je ne saisis pas bien le rôle de fermetude dans cette histoire.

  14. #13
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Ça veut dire quoi pour toi en position générale ?

  15. #14
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Pardon, pas en position générale, je me suis trompé dans la traduction. Par générale, j'entends appartenir à un ouvert dense de la Grassmanienne.

  16. #15
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Je ne saisis pas bien le rôle de fermetude dans cette histoire.
    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Par générale, j'entends appartenir à un ouvert dense de la Grassmanienne.

  17. #16
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Je n'ai pas compris ce que cela a avoir avec la question que j'ai posé, à savoir :
    Pourquoi si est générale, alors : pour , et pour ?

  18. #17
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Tu ne comprend pas ce que ca à avoir de dire qu'un k-plan general est dans un ouvert de la grassmannienne, et de dire que les k-plans qui ne satisfassent pas ces conditions forment un fermé.
    Dit autrement, comprend tu que la proposition que tu cites veut simplement dire l'ensemble des k-plans qui sont d'intersection nulle avec est ouverte pour i plus petit que n-k.
    L'ensemble des k-plans pour lesquels intersection avec est de dimension i est ouvert pour i plus grand que n-k.
    Dernière modification par AncMath ; 26/02/2018 à 14h40.

  19. #18
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    D'accord, merci. Mais quant a-t-on normalement : ou ?
    Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on choisit des formules si compliquées en tant que telles ?. ... Pour les utiliser dans quelles circonstances ?.
    Je rappelle que ces formules apparaissent naturellement dans le cadre définissant la notion de variété de Schubert.

  20. #19
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Ben c'est toi qui lis ton bouquin, pas moi. Regarde pourquoi ils introduisent ces conditions.

  21. #20
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Pour que tu comprennes le contexte de tout ça, voici ce qui est dit dans mon cours :

    Let be the Grassmannian of -dimentional subspaces of an -dimentional vector space .
    The center of our study will be a collection of sub-varieties of called Schubert varieties defined in terms of a chosen complete flag in that is : a nested sequence of subspaces : , with .

    For any sequence of integers with : , we define the Schubert cycle to be the closed subset

    To elucidate the rather awkward-looking definition of , suppose that is a -plan. If is general, then for , while for . Thus we may describe as the set of such that occurs for a value of that is steps sooner than expected.

    Equivalently, we may consider the sequence of subspaces of : . Each subspace in this sequence is either equal to the one before it, or of dimension one greater, and the latter phenomenon ocurs exatly times.

    The Schubert variety is the locus of planes for which the jump in the sequence : occurs at least steps early.

    Voici donc le texte que j'ai du mal à comprendre.

    Mes questions sont les suivantes :

    Alors, je n'ai pas compris tout ce paragraphe relevé dans ce texte :

    To elucidate the rather awkward-looking definition of , suppose that is a -plan. If is general, then for , while for . Thus we may describe as the set of such that occurs for a value of that is steps sooner than expected.

    Equivalently, we may consider the sequence of subspaces of : . Each subspace in this sequence is either equal to the one before it, or of dimension one greater, and the latter phenomenon ocurs exatly times.

    The Schubert variety is the locus of planes for which the jump in the sequence : occurs at least steps early.

    Peux tu me rendre claire tout ce paragraphe s'il te plaît ?

    Par exemple, je ne comprends pas ça :

    Thus we may describe as the set of such that occurs for a value of that is steps sooner than expected.

    C'est comme du Charabia pour moi ça.

    J'ai du mal à visualiser ça dans mon imagination.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 15h45.

  22. #21
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Je vois pas comment expliquer mieux, ce qui est dit est tres clair.
    Tu interecte F avec un drapeau, on s'attend à ce que les intersections soient nulles jusqu'a qu'elles augmentent de 1 à chaque fois, si tu fais un dessin au hasard c'est ce que tu trouveras.
    Bien sur ca n'est pas vrai en general. Il y a plein de situations intermédiaires possibles, et les multi-indices les décrivent.

  23. #22
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Quel est le sens de cette phrase s'il te plaît :
    ... We may describe as the set of such that occurs for a value of that is steps sooner than expected.
    ?

  24. #23
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Ben ce que je t'ai dit plus haut, on s'attend à ce que les dimensions aient la forme (0,0,..,0,1,2,...,k) avec n-k zéros au debut. L'ensemble décrit par le multi-indice (a_1,...,a_k) c'est celui pour lequel le saut de 0 à 1 ne s'effectue pas en n-k, mais a_1 coup plus tot, le saut de 1 à 2 ne s'effectue pas en n-k+1 mais a_2 coup plus tot etc.
    Par exemple, pour un 2-plan dans un espace de dimension 4, la liste des dimensions des intesections avec un drapeau est typiquement (0,0,1,2).
    Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1), un pour qui c'est (0,1,2,2) correspond à (1,1), un pour qui s'est (0,1,1,2) correspond à (1,0), un pour qui la liste est (1,1,1,2) correspond à (2, 0), il reste un cas à traiter, vois tu lequel ?
    Dernière modification par AncMath ; 26/02/2018 à 16h41.

  25. #24
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Je n'arrive pas à suivre :
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1) ...
    Pourquoi ?
    Pardon, je coince vite dans ce calcul.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 17h11.

  26. #25
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Un 2 plan pour qui la liste est (1, 1, 2, 2) correspond au multi-indice (2,1)
    Si le multi-indice est , on a : devient : puisque comme je le comprends, le saut s’effectue : pas en arrière dans , et ça donne : , puis le saut : de s'effectue pas en arrière, appliquée à , ça donne, , non ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 17h30.

  27. #26
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    un pour qui c'est (0,1,2,2) correspond à (1,1)

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    un pour qui la liste est (1,1,1,2) correspond à (2, 0)
    ( Pourquoi tu as écris , et non ? )
    non ?
    Dernière modification par Anonyme007 ; 26/02/2018 à 17h40.

  28. #27
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Tu crois que la liste (1,2,1,2) est possible ?

  29. #28
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Non, parce que la liste n'est pas dressé en suivant un ordre croissant. On a : puis puis , et le puis dans ce : puis puis n'est pas dans un ordre croissant, non ? Alors, comment tu as trouvé au lieu de dans ce cas là ?.

  30. #29
    Anonyme007

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    Help please.

  31. #30
    AncMath

    Re : Grassmannienne ( Algèbre linéaire )

    C'est un ptit exercice tres simple, prend un papier et un crayon et tu devrais y arriver. Dessine un drapeau. Et regarde les différents cas possible.
    Fait d'abord ça pour une droite dans l'espace, ensuite il te sera facile de traiter le cas général.

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