Exemples de partition non équitables d'un espace par ses orbites

[invite270c37bc]

Bonsoir,

je recherche un exemple de groupe dont le quotient avec un sous groupe de celui-ci (ou par un autre groupe) donnerait des classes de tailles différentes?

merci

bonne soirée
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[Médiat]

Bonsoir,

Soit x un élément du groupe, H le sous groupe, quel est la classe de x, que pouvez-vous en conclure sur le cardinal de la classe de x ?

[invite270c37bc]

j'avoue ne pas avoir compris ce qu'est que H? de quoi parlez vous?

par contre si j'imagine bien vers où l'on va, si c'est pour prendre un groupe qui agit transitivement sur un autre et alors le ker se réduit à l'élément neutre, c'est pas ce que je cherche, j'exclus les cas extrêmes...

[Médiat]

Vous parliez bien du quotient d'un groupe (disons G) par un sous-groupe (disons H)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

mais regarder les éléments dans le quotient n'a pas de sens si ? pcq ceux ci valent toujours 0... ( l'élément neutre pardon )

[Médiat]

Une classe d'équivalence est un sous ensemble de l'ensemble de référence (G ici, avec le vocabulaire de mon message précédentp

[invite9dc7b526]

@sleinininono: pour une relation d'équivalence quelconque les classes d'équivalence n'ont aucune raison d'avoir le même cardinal mais pour les groupes quotients c'est le cas. Si H est un sous-groupe distingué de G les classes d'équivalence modulo H sont de la forme xH et entre xH et yH il y a une bijection évidente. C'est bien une bijection parce que dans un groupe tout élément est simplifiable (xh=yh entraîne x=y).

[invite270c37bc]

elles n'ont aucune raison d'avoir le même cardinal je le sais bien c'est pour cela que trouver un exemple devrait être simple et je n'en vois aucun :/

[gg0]

Sleinininono,

de quoi parles-tu ? Pas des classes d'équivalence modulo un sous-groupe, on ta dit, et Minushabens l'a prouvé, qu'elles ont "le même nombre d'éléments". Dans ton titre, tu parles d'orbites, ce qui fait plutôt penser à un groupe agissant sur un ensemble.

Un conseil : revois tous tes cours d'algèbre, réfléchis bien et reviens avec une question claire.

Cordialement.

[invite270c37bc]

ah pardon j'avais pas compris le message. D'accord je comprends. Et vous auriez un exemple avec un quotient qui ne serait pas un sous groupe?

merci

[gg0]

Là encore, tu sembles mélanger. Un groupe quotient n'est pas un sous groupe.

Essaie de préciser de quoi tu veux parler. Quelle est la relation d'équivalence que tu veux utiliser ?

[invite270c37bc]

je cherche simplement des exemples pour mon cours sur les actions et là plus précisement j'approfondie les orbites.

Il me semble que tous sous groupes d'un groupe peuvent définir une action. Si j'ai bien compris, à ce moment toutes les orbites ont mêmes cardinales ? le même cardinal que celui du groupe quotient : "groupe / sous groupe"?

Néanmoins, ce que je cherche dans le cadre de ce post, c'est un cas d'un ensemble sur lequel un autre agit, et où les orbites sont de tailles différentes.

Merci

[Médiat]

ah pardon j'avais pas compris le message. D'accord je comprends. Et vous auriez un exemple avec un quotient qui ne serait pas un sous groupe?

merci

Bonjour,

Dans IN la relation

[edit] Pas vu le message précédent qui précise la question

[invite270c37bc]

mais cette relation ne désigne en rien un quotient, si? là vous me donnez un exemple de classe d'équivalence dont le nombre d'éléments ne sont pas égaux...

[Médiat]

mais cette relation ne désigne en rien un quotient, si? là vous me donnez un exemple de classe d'équivalence dont le nombre d'éléments ne sont pas égaux...

Toutes les relations d'équivalence définisse un quotient ; ici, les premières classes sont {0}, {1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7, 8} ..., elles sont de la forme [n², n² + 2n]

[Médiat]

définissent

[invite9dc7b526]

Sinon comme exemple d'action de groupe qui produit des orbites non équipotentes tu peux considérer la conjugaison dans un groupe non abélien. La classe de conjugaison de 1 est toujours {1} mais en général une classe de conjugaison peut aboir plus d'un élément.

[invite270c37bc]

bonsoir,

c'est un bon exemple mais c'est juste que l'on ne peut pas l'écrire comme le quotient de deux ensembles?

là c'est juste des classes d'équivalence de dimensions différentes... comme il peut en exister des milliers.

Je cherche précisément deux ensembles qu'on peut nommer G et H et qui forment des orbites de tailles différentes.

Merci

[invite23cdddab]

C'est quoi pour toi "le quotient de deux ensembles"?

[gg0]

Voir "quotient d'un ensemble par une relation d'équivalence"

Ne pas confondre avec les notions plus restreintes de groupe quotient, d'anneau quotient,...de topologie quotient, ... qui nécessite que la relation d'équivalence soit particulière.

Cordialement.