Intégrale triple: Problème de calcul

[Etile]

Bonjour,
je reste bloqué devant un exercice de calcule de volume assez, trivial dirons nous...

Enoncé: Utiliser les coordonnées sphériques pour calculer le volume du solide délimité supérieurement par la sphère x² + y² + z² = 1 et inférieurement par le cône z =
J'ai donc tout d'abord calculé le volume de la sphere en coordonnée sphérique, chose facile, et je pensais ensuite soustraire l'air entre le cône extérieur et la sphère pour finalement trouver l'air du solide recherché...
Seulement, je n'arrive pas du tout à calculer l'air extérieur du cône délimité par la sphere en coordonnée sphérique.
Je pense qu'il faut limiter l'intégration à un certain angle, mais je ne vois pas du tout comment le trouver.
On sait par ailleurs que le rayon de la sphere = 1, donc le coté du cône est normalement 1...
Bref, ce serait sympa si vous pouviez me donner quelque conseils, merci.
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[matthias]

Je pense qu'il faut limiter l'intégration à un certain angle, mais je ne vois pas du tout comment le trouver.

Tu connais le demi-angle au sommet d'un cône ?
Pour calculer l'angle entre OM et l'axe Oz (M étant un point du cône), il suffit de se placer dans un triangle rectangle bien choisi.

[Etile]

C'est bien ca le probleme, je ne connais pas l'angle.
Ah je crois que je viens de trouver.
La longueur du coté du cone = racine de deux, la hauteur est de 1, donc on a cos (alpha) = 1/(racine 2), d'ou alpha = arccos (1/racine 2)
En gros, calculer le volume de la sphère entière est inutile, il faut maintenant réussir à soustraire le volume du cône qui "dépasse" de la sphère non ?

(Désolé mais je ne maîtrise pas bien le LaTeX)

Err, en fait non, je crois que je tourne en rond la

[matthias]

Personnellement je ne sais pas ce que tu appelles le "côté" d'un cône (ni la hauteur dans ce cas, puisque ton cône s'étend à l'infini).
Tu n'as pas à calculer différents volumes séparément, juste à trouver les conditions sur r, théta et phi pour que ton point appartienne au volume considéré, et à intégrer.

Au fait, arccos(1/racine 2) est un angle connu ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Ouais en fait je m'embrouillais tout seul.
En gros le calcule se résume à l'intégrale triple de la sphere (fonction avec R comprit entre 0 et racine de 2, theta entre 0 et 2pi, et phi entre 0 et arccos (1/racine 2).
Ou alors je dis n'importe quoi ?

(Ah il faut que je passe x² et y² en sphérique aussi)

[matthias]

C'est bon pour les limites de théta et phi, mais pas pour r. Tu devrais faire un dessin.
Et ce n'est pas qu'il faut intégrer mais un élément de volume (en coordonnées cartésiennes tu intègrerait dxdydz, ici c'est un chouya plus compliqué).

[Etile]

Hmm oui c'est vrai qu'il faut faire le jacobien...
En gros ici, dxdydz deviennent r²sin(phi) dr dtheta dphi.
Pour les bornes de r par contre je ne vois pas du tout :/

[matthias]

C'est pourtant le plus simple. Avec un bon dessin, ça devrait bien se voir.

[Etile]

Haha, c'est de 0 à 1 c'est ça ?
C'est vrai que le dessin aide énormement, merci.

[matthias]

Oui c'est ça. Ne reste plus qu'à intégrer

[invite2f5d34c7]

Bonjour,
je reste bloqué devant un exercice de calcule de volume assez, trivial dirons nous...

Enoncé: Utiliser les coordonnées sphériques pour calculer le volume du solide délimité supérieurement par la sphère x² + y² + z² = 1 et inférieurement par le cône z =
J'ai donc tout d'abord calculé le volume de la sphere en coordonnée sphérique, chose facile, et je pensais ensuite soustraire l'air entre le cône extérieur et la sphère pour finalement trouver l'air du solide recherché...
Seulement, je n'arrive pas du tout à calculer l'air extérieur du cône délimité par la sphere en coordonnée sphérique.
Je pense qu'il faut limiter l'intégration à un certain angle, mais je ne vois pas du tout comment le trouver.
On sait par ailleurs que le rayon de la sphere = 1, donc le coté du cône est normalement 1...
Bref, ce serait sympa si vous pouviez me donner quelque conseils, merci.

ton volume est limite par un sphere x2+y2+z2=1 et z=(x2+y2)1/2 .donc tu utilise les coordonne sphere et tu as : x=r*cosQ*sin& ,y=r*sinQ*sin&,z=cos&.
0<r<1, 0<Q<2*pi , 0< &<pi/4.