Wronskien, aire et espace des phases

[invite270c37bc]

Bonjour,

je viens de voir que le Wronskien a une interprétation géométrique... et je ne comprends pas vraiment comment on arrive à ce résultat.

J'avais en tête que le wronskien correspond au determinant d'une matrice composée des solutions d'une équa diff. Dans mon cours d'analyse on l'avait introduit comme un outil pour les équations différentielles du 2nd ordre.

Ici ils parlent d'un Wronskien pour une equa diff du première ordre. Qu'est ce que c'est ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Wronskien
https://upload.wikimedia.org/wikiped...png?uselang=fr

Est ce que vous pourriez alors m'expliquer ce qu'il se passe dans le cas du pendule pour que l'aire soit toujours une constante (lien nr2), que dans d'autres cas l'aire décroit, et enfin qu'est ce que c'est que l'espace des phases au niveau mathématique? je connais son utilisation en ingénierie (prépa) mais je n'ai aucune connaissance mathématique dérrière sur quoi m’appuyer.


Merci!
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[invite270c37bc]

cela ne dit rien à personne? j'avoue avoir été moi-même surpris par cette interprétation géométrique

[azizovsky]

Il dit que c'est le wronskien qui vérifie une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1, en plus si on pose x(t)=q(t) et x'(t)=p(t) , on a dans le plan (q,p) comme variables canoniques de ''l'espace des phases'' : w(t)=q(1)p(2)-q(2)p(1) une différence de deux surface qui est une surface, mais je ne vois pas d'applications physique ...

[azizovsky]

ps: pas un surface au sens mathématique stricte, comme pour (x,p=mx'), on'a p.x qui a la dimension d'une action ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite270c37bc]

et pourquoi cette surface serait de dimension constante?

[azizovsky]

la 'surface' dans l'espace des phases reste constant avec une condition:

L'aire du triangle formé par les valeurs de deux solutions reste constante au cours du temps si le terme d'amortissement est nul

[azizovsky]

Le terme a dans l'équation différentielle E est qualifié de terme d'amortissement

d'après wiki: i.e

[albanxiii]

Bonjour,

Géométriquement, le déterminant de deux vecteurs du plan est l'aire du parallélogramme défini par ces deux vecteurs. J'ai essayé de raccorder ça au wronskien, mais je n'ai pas trouvé de façon satisfaisante de le faire.