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Espace des phases = fibré cotangent



  1. #1
    limitinfiny

    Exclamation Espace des phases = fibré cotangent


    ------

    Bonjour a tous,
    Voila, j'ai un petit probleme pour saisir la raison qui fait que l'on identifie l'espace des phases (p,q) avec le fibré cotangent , ou plus précisement:
    je peux concevoir que l'espace des vitesse soit l'espace tangent a l'espace de configuration [c'est évident ], mais pas que les momentoides p = dL(q,v) / dv soient des covecteurs !!!! qualqu'un peut-il m'éclairer sur ce point
    [pardon pour l'erreur dans le titre ça devrait être espace des phases = fibré cotangent]

    -----
    Dernière modification par limitinfiny ; 12/08/2008 à 11h27.

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  3. #2
    Rincevent

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    salut,

    l'impulsion est pourtant plus naturellement vue comme une 1-forme que comme un vecteur... repense à ses diverses définitions/propriétés, par exemple le lien avec les translations ou encore la définition à partir du lagrangien en tenant compte de la relation entre dérivée fonctionnelle, distributions et formes... d'ailleurs, tu écris toi-même p=dL/dv donc tu devrais peut-être regarder à nouveau de plus près la définition d'une dérivée fonctionnelle...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  4. #3
    limitinfiny

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Merci Rincevent pour ta réponse,
    Ce dont je parle c'est plutôt le coté geométrie différentielle de la chose....
    v étant dq/dt il est assez facile de l'imaginer comme vecteur tangent a l'espace de config ....
    mais pour ce qui est de p !!!! tu parles de dérivée fonctionelle! ok, mais je ne vois pas trop en quoi ça pourrais m'aider !! sinon je ferais mieux de

  5. #4
    Rincevent

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par limitinfiny Voir le message
    Ce dont je parle c'est plutôt le coté geométrie différentielle de la chose....
    moi aussi

    la dérivée fonctionnelle te donne par définition une distribution qui est par définition une forme... donc si tu définis p par dL/dv...
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Bonjour,

    Il y a un argument dimensionnel que j'aime bien, et que je donne pour ce qu'il vaut.

    (Que ceux qui n'aiment pas les bases inhomogènes ne regardent pas plus loin!)

    Un 4-vecteur vitesse est, dans la base inhomogène correspondant aux calculs fait en classique, dimensionnellement (1, LT-1), que l'on peut écrire (T, L)T-1. Un 4-vecteur énergie-impulsion, dans les mêmes conditions, va s'écrire (E,p), dimensionnellement (ML²T-2, MLT-1) soit A(T-1,L-1), avec A=ML²T-1.

    L'inversion de T et L signe, selon ma vue, une forme plutôt qu'un vecteur.

    Cordialement,

  8. #6
    limitinfiny

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Bonjour,

    Il y a un argument dimensionnel que j'aime bien, et que je donne pour ce qu'il vaut.

    (Que ceux qui n'aiment pas les bases inhomogènes ne regardent pas plus loin!)

    Un 4-vecteur vitesse est, dans la base inhomogène correspondant aux calculs fait en classique, dimensionnellement (1, LT-1), que l'on peut écrire (T, L)T-1. Un 4-vecteur énergie-impulsion, dans les mêmes conditions, va s'écrire (E,p), dimensionnellement (ML²T-2, MLT-1) soit A(T-1,L-1), avec A=ML²T-1.

    L'inversion de T et L signe, selon ma vue, une forme plutôt qu'un vecteur.

    Cordialement,
    Bonne réfléxion mmy ! plutrôt troublante pour moi je dois l'avouer !
    Mais maleureusement je cheche plutôt un argument "géometrique" !
    Et ton argument ? a-t-il une quelconque base théorique ?

    moi aussi

    la dérivée fonctionnelle te donne par définition une distribution qui est par définition une forme... donc si tu définis p par dL/dv...
    OK Rincevent, je ne le voyais pas dutout comme cela et je dois avouer que ça me decevrait un peu si c'était la seule raison !!!!

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  10. #7
    Rincevent

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par limitinfiny Voir le message
    a-t-il une quelconque base théorique ?
    tu le vois tout de suite si tu poses hbar=1 car tu as alors p=k, où k est le "vecteur d'onde", élément de l'espace réciproque et non de l'espace direct.

    ça me decevrait un peu si c'était la seule raison !!!!
    euh... pourquoi ?

    après, ça dépend vraiment que ce que tu appelles une "raison"... si tu te places dans le cadre de la géométrique symplectique, tu as une autre "explication"... mais je ne suis pas sûr qu'elle te convienne plus car je ne vois vraiment pas ce que tu cherches comme "raison"... c'est pourtant assez simple avec tout ce que tu as en main : pour définir des grandeurs scalaires (énergie, etc), à partir de vecteurs, il te fait soit une métrique, soit des formes. Or, les formes sont bien plus naturelles à introduire que la métrique (structure mathématique supplémentaire), et en particulier on les voit apparaître par l'application du théorème de Noether (dans sa formulation à base de fibré) où l'impulsion ressort toute seule comme une grande en relation avec les translations (cf. ce que je te disais dans mon premier message et qui rejoint d'ailleurs les histoires de Fourier et de dimension physique inverse).
    Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par limitinfiny Voir le message
    Et ton argument ? a-t-il une quelconque base théorique ?
    Il y a plein d'arguments qui vont tous dans le même sens. Un autre (pas vraiment géométrique, bien que...) : l'invariance par rapport à la métrique du "produit scalaire" de l'énergie-impulsion par le déplacement fait qu'on ne peut pas faire autrement que considérer ce produit comme l'application d'une forme à un vecteur. (A bien regarder, c'est le même argument que le lagrangien, mais de fait on tourne toujours autour de la même idée!)

    Pour aller un peu plus loin, tout cela mène à considérer la masse non comme un scalaire mais un tenseur d'ordre 2. L'énergie impulsion est alors . Evidemment, comme il n'y a qu'un degré de liberté, ce n'est pas flagrant. Mais quand on regarde le moment d'inertie d'un solide, la vision tenseur d'ordre 2 est naturelle... Ce pourrait être (1,1), mais ça ne colle pas en unités (on peut s'en douter, c'est le même argument que le premier que j'ai indiqué), et ça "ne sonne pas bien" de voir l'inertie sur le même pied qu'une transformation de Lorentz, genre rotation/accélération (dans quel sens?).

    Pas très rigoureux tout ça, mais c'est juste pour dire qu'une fois qu'on prend l'énergie-impulsion comme une forme, c'est bien plus cohérent, tout tombe "bien en place". Et a contrario, on réalise que la vision "vecteur" est entièrement due à notre formation initiale p=mv, avec une présentation dans laquelle "tout ce qui a trois composants" est un vecteur, rien d'autre.

    Cordialement,

  12. #9
    limitinfiny

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ... si tu te places dans le cadre de la géométrique symplectique, tu as une autre "explication"... mais je ne suis pas sûr qu'elle te convienne plus car je ne vois vraiment pas ce que tu cherches comme "raison"...
    Ah ben c'est ça je suis justement entrain d'aborder la géométrie symplectique ! et j'ai trouvé ça comme définition, ce qui m'a vraiment paru louche alors j'ai cherché un peu partout mais nada ! toujours posé comme définition dans les documents de geométrie symplectique

    Citation Envoyé par Rincevent Voir le message
    ... et en particulier on les voit apparaître par l'application du théorème de Noether (dans sa formulation à base de fibré) où l'impulsion ressort toute seule comme une grande en relation avec les translations ...
    et ça c'est tout ce que je ne cherche pas parceque je le sais déja

    Citation Envoyé par Michel (mmy) Voir le message
    Pas très rigoureux tout ça, mais c'est juste pour dire qu'une fois qu'on prend l'énergie-impulsion comme une forme, c'est bien plus cohérent, tout tombe "bien en place". Et a contrario, on réalise que la vision "vecteur" est entièrement due à notre formation initiale p=mv, avec une présentation dans laquelle "tout ce qui a trois composants" est un vecteur, rien d'autre.
    Bah je dois avouer que cette pseudo-éxplication me fait plus accepter cette nature de one forme de p [malgrés ta masse un peu trop prétentieuse ]

  13. #10
    invité576543
    Invité

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Si on écrit , ça va mieux? Je trouve ça intéressant, que voir p comme une forme montre une relation très étroite entre l'inertie et la métrique...

    Cordialement,

  14. #11
    invite54165721

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Bonjour,

    Une question bête:
    Si l'on prend une particule et ,,
    en faisant agir la forme sur le vecteur on a et on obtient le lagrangien. On ne devrait pas avoir un invariant relativiste? (c'est l'action qui est invariante pas le lagrangien) puisque l'on devrait obtenir un scalaire avec la sommation sur les indices.
    Dernière modification par alovesupreme ; 17/08/2008 à 09h56.

  15. #12
    invité576543
    Invité

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    annulé...........
    Dernière modification par invité576543 ; 17/08/2008 à 13h32.

  16. Publicité
  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    Bonjour,

    Une question bête:
    Si l'on prend une particule et ,,
    en faisant agir la forme sur le vecteur on a et on obtient le lagrangien. On ne devrait pas avoir un invariant relativiste? (c'est l'action qui est invariante pas le lagrangien) puisque l'on devrait obtenir un scalaire avec la sommation sur les indices.
    J'ai du mal... Mais a priori, le point est que n'est pas un invariant relativiste. (Faut le multiplier par gamma pour en avoir un.)

    La variation de l'action c'est Edt - p.dx (le signe m'interpelle, mais je garde le tien...), avec E, p, dt et dx dans le même référentiel. Ca c'est un invariant relativiste.

    L'expression que tu donnes c'est dA/dt, ce n'est pas plus un invariant que , pour la même raison (dt n'est pas un invariant). Par contre dA/dτ l'est (et devrait être la masse).

    Cordialement,

  18. #14
    invite54165721

    Re : Espace des phases = fibré cotangent

    Pour essayer de reformuler ma question
    On a 2 quadrivecteurs la 4vitesseet l'énergie-impulsion
    Si on considère la derniere comme une forme on doit abaisser l'indice:
    Avec la convention d'Einstein on prend
    qui devrait si je ne me trompe être un scalaire donc un invariant relativiste (à la mc2) ce qui n'est pas le cas de E-pv
    je me trompe quelque part.

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Espace des phases = fibré cotangent

    Citation Envoyé par alovesupreme Voir le message
    Pour essayer de reformuler ma question
    On a 2 quadrivecteurs la 4vitesseet l'énergie-impulsion
    Si on considère la derniere comme une forme on doit abaisser l'indice:
    Avec la convention d'Einstein on prend
    qui devrait si je ne me trompe être un scalaire donc un invariant relativiste (à la mc2) ce qui n'est pas le cas de E-pv
    je me trompe quelque part.
    Pas dans ce message! Dis comme ça, c'est correct. (Et encore mieux en écrivant , , et pour qu'on ne confonde pas avec la 3D.)

    Mais, pour me répéter, la 4-vitesse n'est pas (1, vi) comme tu l'écrivais dans le message d'avant, c'est (γ, γvi). Du coup, plus de problèmes... Ou encore, si , et si

    Cordialement,

  20. #16
    invite54165721

    Re : Espace des phases = fibré cotangent

    merci

    Il me manquait effectivement un

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