Théorie des topoî

**Anonyme007** · 12/06/2018, 05h33

Bonjour à tous,

Svp, je cherche un cours ( concis, et pas costaud ) disponible sur le net portant sur la théorie des topoî.
Je cherche précisément à apprendre à travers ce cours comment on établit d'éventuels isomorphismes ou équivalences entre deux topoî induits des topologies de Grothendieck suivant ( deux à deux ) : Zariski, étale, lisse, syntomique, fppf, ph, fpqc, Nisnevitch.
Je cherche aussi à travers ce cours à savoir si les cohomologies de faisceaux induites par les sites relatifs à ces topologies de Grothendieck çi dessus coïncident ou non, notamment dans le cas des topologies de Zariki et étale, ( et la topologie usuelle dans $\text{[math]}$ aussi ... J'ignore la différence

). ( Parce que, je m'initie en ce moment à un cours sur la cohomologie étale, et je souhaite comparer les autres cohomologies que je connais par rapport à la cohomologie étale, notamment la cohomologie des variétés projectives complexes lisses ). Donc, je cherche le lien qui existe entre la cohomologie des variétés projectives complexes lisses pour la topologie usuelle dans $\text{[math]}$ , la cohomologie de Zariski et la cohomologie étale.

Merci pour votre aide.

**AncMath** · 02/07/2018, 16h18

Regarde ce qu'il se passe pour la cohomologie de Zariski et analytique pour le faisceau constant de fibre $\text{[math]}$ sur disons un tore complexe.
La cohomologie étale et analytique coïncident, dans le cas propre et lisse, pour les coefficients de torsion par contre c'est théorème de comparaison d'Artin, en particulier tu obtiens le théorème de comparaison l-adique de Grothendieck.
Pour les faisceau quasi-cohérents tout coïncide.

**Anonyme007** · 02/07/2018, 18h45

Merci.
Et quel cours tu me conseilles de suivre ?
Je cherche un cours souple, flexible et concis et qui parcourt ces notions que tu as cités.

**AncMath** · 02/07/2018, 19h41

SGA 4 et demi.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 02/07/2018, 20h04

et si je ne trouve pas les points auxquels j'aspire ?

**Anonyme007** · 12/07/2018, 00h41

S'il te plaît, pour que tu saisisses un peu ma situation, j'apprends en autodidacte, et sur le net, on ne trouve pas facilement des supports qui traitent en détail des notions mathématiques qui ont besoin de passer par des exemples simples et basiques comme le calcul de simples cohomologies sur des objets comme le tore, ... etc, les tuteurs préfèrent snober ces passages sous un ton hautain et le laisse sous le dos du simple apprenti désorienté, c'est pourquoi personnellement, j'ai raté la chance d'apprendre des choses basique et obligatoires, et ce n'est pas de ma faute. alors, ne le prends pas mal, comment calcule-t-on la cohomologie analytique et la cohomologie de Zariski du tore à coefficient dans Z ?
Merci.

invite5357f325 · 12/07/2018, 01h00

On ne parle pas de cohomologie analytique ou de Zariski, mais de cohomologie (du faisceau Z) d'un espace topologique (la topologie étant la topologie de Zariski, ou analytique).

Avec la topologie analytique c'est un calcul standard. Pour la topologie de Zariski, tu peux vérifier que Z_X est flasque.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 01h18

Merci.
Je ne comprends pas lorsque tu affirmes qu'avec la topologie analytique, c'est un calcul standard. D'abord, pour l'exemple d'un Tore $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , Qu'est ce qui différencie : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Ne me dis pas qu'ils sont égaux et c'est tout, mais dit moi qu'est ce qui fait la différence ? et comment on fait le calcul du début jusqu'à la fin ?

**Anonyme007** · 12/07/2018, 01h29

Je préfère ne pas préciser qu'il s'agit en principe de cohomologie de faisceaux, ne t'inquiète pas je le sais. ça me fatigue d'écrire toute la phrase, car dans mon clavier, il y' a certaines touches extirpées de leurs place.

invite5357f325 · 12/07/2018, 01h30

La cohomologie des faisceaux est défini pour un espace topologique X et un faisceau F. Quel est l'espace topologique associé à T ?

Pour le calcul ? Tu prends un bon recouvrement et tu calcule le complexe de Cech. C'est de l'algèbre linéaire, et c'est dans le cas analytique.

Si tu regarde T avec la topologie de Zariski, tu peux voir que Z_T est flaque. Un faisceau flasque est acyclique.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 01h44

Je ne sais pas quel recouvrement prendre.

invite5357f325 · 12/07/2018, 01h52

Trouver un recouvrement n'est en général pas facile (même pour P^n, celui auquel on pense n'est pas un bon recouvrement). Cependant, on peut trianguler T, et prendre pour chaque triangle son epsilon voisinage. Si les triangles sont assez petits on obtient un bon recouvrement. C'est un bon exercice (peut-être un peu long) de faire ça pour le tore. Tu peux déjà vérifier que H^2(P^1,Z) n'est pas nul, le recouvrement n'est pas très dur à trouver.

La méthode usuelle est bien sûr de vérifier que la cohomologie du faisceau constant à coefficients dans A coincide avec la cohomologie singulière à coefficients dans A, qu'on sait bien comment calculer dans le cas d'un espace triangulé ou d'un CW-complexe par exemple.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 02h05

Oui, pour $\text{[math]}$ c'est juste un cercle $\text{[math]}$ ( Je sais dessiner le recouvrement ), puis Mayer - Vietoris ( cas particulier de Cech ) ... etc. D'accord, alors je garde à l'esprit qu'il faut chercher un recouvrement puis passer à Cech. D’accord.
et pour Zariski, pourquoi $\text{[math]}$ est flasque ?

invite5357f325 · 12/07/2018, 08h20

P^1(R) est un cercle mais la cohomologie des variétés réelles est plus compliquée. Restons au cas complexe où P^1(C) est une sphère. De toute façon, deux ouverts ne peuvent pas bien recouvrir S^1. La cohomologie de Cech est prise sur les limites des recouvrements. Heureusement tu as une suite spectrale associé à chaque recouvrement, qui dégénère avec deux colonnes (donnant Mayer-Vietoris) ou si les intersections finies d'ouverts sont acycliques pour F, ce qui veut dire que tu ne dois pas calculer la limite.

Pour la deuxième question, essaye d'écrire une preuve. Si il y a des soucis je reviendrais écrire la réponse.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 09h25

Oui, c'est vrai, on parle ici de $\text{[math]}$ , donc une sphère. Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sph%C3%A8re_de_Riemann
Peux tu développer en détail la suite stp ? Calcul concret sans utiliser des phrases ambiguës pour que je puisse comprendre.

invite5357f325 · 12/07/2018, 09h38

Je pense que j'ai donné suffisament d'explications. Si tu n'arrives pas, tu peux toujours relire un livre qui explique la base sur la théorie des faisceaux, par exemple Bott et Tu, "Differential forms in algebraic topology".

Tu as demandé plusieurs fois pourquoi Z était flasque sur T (avec la topologie de Zariski). Qu'as tu essayé ?

**Anonyme007** · 12/07/2018, 09h55

Pour montrer que $\text{[math]}$ est flasque, on montre que $\text{[math]}$ est surjectif. Soit $\text{[math]}$ . alors $\text{[math]}$ est constante telle que : $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ se prolonge en $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est constante égale à $\text{[math]}$ . en effet, puisque $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont de Zariski, alors $\text{[math]}$ , et donc, $\text{[math]}$ est constante, égale à $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ .

invite5357f325 · 12/07/2018, 09h58

C'est OK (techniquement il faut montrer ça pour toute pair d'ouverts (V,U) avec V qui contient U).

**Anonyme007** · 12/07/2018, 16h25

a quoi est égale la cohomologie analytique du tore $\text{[math]}$ à coefficient dans $\text{[math]}$ ? Je voudrais juste la réponse, pas les détails du calcul.
a quoi est égale la cohomologie de Zariski du tore $\text{[math]}$ à coefficient dans $\text{[math]}$ ? Je voudrais juste la réponse, pas les détails du calcul.
Tu as affirmé que $\text{[math]}$ est flasque, ça veut dire que :
$\text{[math]}$ , c'est ça ?

invite5357f325 · 12/07/2018, 16h42

Tu as tous les éléments de réponses.

La dernière ligne est fausse. Peux tu rappeller la définition de H^0 ?

**Anonyme007** · 12/07/2018, 16h52

$\text{[math]}$ , non ? Parce qua : $\text{[math]}$ n'est pas contractile.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 16h54

Non, $\text{[math]}$ .

invite5357f325 · 12/07/2018, 16h55

Ok tu peux corriger le calcul de la cohomologie de Z_T sur T avec la topologie de Zariski.

Ensuite tu peux regarder mon message #12 pour voir comment faire avec la topologie analytique.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 17h05

oui, mais d'abord, essaye de me comprendre.

On fixe d'abord les idées, puis on les montre. c'est quoi le résultat que donne la cohomologie analytique, ensuite, c'est quoi le résultat que donne la cohomologie de Zariski, puis je compare le résultat, pour me fixer les idées. ensuite, si j'ai du temps, je démontrerai les détails, non ?

invite5357f325 · 12/07/2018, 17h11

Tu as écris presque correctement la cohomologie de Z calculé dans la topologie de Zariski. Relis les derniers messages et réécris là.

Ensuite on peut passer à la cohomologie dans la topologie analytique. Je t'ai déjà dit qu'elle coïncidait avec la cohomologie singulière. Connais tu la cohomologie singulière du cercle ?

**Anonyme007** · 12/07/2018, 17h26

Pour terminer avec la topologie de Zariski, le tore a une seule composante connexe meme s'il n'est pas contractile, donc, $\text{[math]}$ , non ?

invite5357f325 · 12/07/2018, 17h28

Oui c'est correct.

**Anonyme007** · 12/07/2018, 17h44

Pour la topologie analytique, j'ai déjà la réponse ici : http://www.les-mathematiques.net/pho...439948,1440688
Donc,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
non ?
après, quelle est la suite ? On utilise Kunneth pour passer au tore ?

invite5357f325 · 12/07/2018, 17h55

Oui Künneth.

**Anonyme007** · 13/07/2018, 23h14

Pardon pour le retard. J'avais un peu de fatigue.
alors : $\text{[math]}$ , non ? à quoi est égale : $\text{[math]}$ ? On a : $\text{[math]}$ , non ?
Donc, $\text{[math]}$ ? non ?

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