Topologie, fermés.

[invite9b58e363]

Bonjour, je ne comprends pas pkoi un intervalle fermé [a, b] sur R est fermé. Si je prends la définition des boules ouvertes, je trouve sur tout l intervalle des centres, y compris sur les a et sur b. Pour moi c est donc un ouvert. Merci d avance
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[gg0]

Bonjour.

Pour la suite, on a . n'est pas un ouvert de muni de sa topologie habituelle, puisque aucune boule ouverte contenant a n'est contenue dans .
Par contre, c'est un fermé puisque son complémentaire est un ouvert (preuve facile).

Donc il y a un problème : "Si je prends la définition des boules ouvertes,.." ?? Quelle est cette définition ?

Cordialement.

NB : C'est aussi un fermé si

[invite9b58e363]

Pour tout x de E(ici l'intervalle) et pour tout r>0, une boule ouverte c'est B(x, r) = {y de E, d(x, y) < r}. Mais si je prends a=3 et b=8 sur R, avec r=2 j'ai bien un ensemble de points qui va de 3 à 5 donc j'ai bien une boule de rayon=2. Il y a certainement quelque chose que j'ai pas compris, je débute en topologie.

[pm42]

Tu as construit un recouvrement par des ouverts. Cela n'en fait pas un ouvert. Relis l'explication de gg0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b58e363]

Je viens de comprendre, merci

[invite9dc7b526]

Dans R les boules ouvertes sont les intervalles ouverts. Un intervalle ouvert n'a pas de plus petit élément. Une réunion d'intervalles ouverts n'a toujours pas de plus petit élément (facile à montrer). Et par définition un ouvert de R est une réunion de boules ouvertes, donc il n'a pas de plus petit élément. Or [a,b] a un plus petit élément : a. Donc il ne peut être ouvert.