[Topologie] Topologie induite, la moins fine
Bonjour,
J'aurais une question sur un exercice car le raisonnement du prof ne me parait pas clair.
Voilà l'énoncé :
Soit X un espace topologique, et Y ⊂ X un sous-ensemble. Démontrer que la topologie induite sur Y par la topologie donnée sur X est bien une topologie, et
qu’il s’agit de la topologie la moins fine telle que l’inclusion j : Y → X est continue
C'est la question en gras qui me pose problème. Voilà la correction :
Soit T[y] une topologie de Y tel que l'inclusion j : Y → X est continue.
Soit donc U ∈ T[induite] ⇒ Il existe V ⊂ X ouvert tel que U = V n Y (Rien à dire ici, on ne fait que utiliser la définition d'une topologie induite)
Comme l'inclusion j : Y → X est continue pour T[y] ⇒ j^-1(V) = V n Y ouvert pout T[y]
Ici je bloque, car je ne vois pas trop d'où sort : j^-1(V) = V n Y , il réutilise la définition de la topologie induite sur T[y] ? Pourtant on ne parle pas de la topologie induite ici mais de la topologie sur Y (que je dénote T[y]).
Car il fini par conclure : U = V n Y ∈ T[y] donc T[induite]⊂T[y].
Merci d'avances pour le coup de pouce.
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