topologie induite besoin aide compréhension

[invite4680bd1a]

Bonjour,
nous sommes sur le chapitre de la topologie induite et j'ai du loupé deux cours et maintenant pour rattraper le navire ça m'est compliqué car je ne comprends pas vraiment ce qu'est une topologie induite... Quelqu'un peut il me faire un résumé assez clair ?

Aussi dans le cours il y a marqué Un ouvert de Y pour la topologie induite n'est pas forcément ouvert pour la topologie de X en donnant l'exemple, si X=ℝ muni de sa topologie usuelle et Y=]-1,1] alors ]0,1]=]0,2[⋂]-1,1] est ouvert dans Y mais pas dans X et ]-1,0]=[-2,0]⋂]-1,1] est fermé dans Y mais pas dans X.
Je ne comprends pas du tous ça non plus en fait...

si quelqu'un peu m'aider ça serait gentil merci bcp
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[invite47ecce17]

Bonjour,
C'est assez simple en fait.
Si tu as X un espace topologique, et Y un sous ensemble de X, tu veux faire de Y un espace topologique, ou dit autrement munir Y d'une topologie.
Il y a une manière particulièrement simple de faire ca, c'est de munir Y de la topologie dite induite.
On decrete que les ouverts de Y (pour la topologie induite) sont l'intersection d'un ouvert de X (pour sa topologie) et de Y.

Autrement dit un ouvert de Y pour la topologie induite c'est un ensemble U qui peut s'ecrire comme V inter Y, avec V qui est un ouvert de X.
Il est facile de verifier que cela respecte les propriétés d'une topologie, et que l'inclusion j:Y->X est alors une application continue (c'est un peu pour ca qu'on a fabriqué cette topologie faut dire), en effet si V est un ouvert de X, alors j^{-1}(V)=V inter Y, qui est ouvert (dans Y pour la topologie induite) par definition.

Si X est un espace métrique, essaie de te convaincre que la distance induite sur Y, induit sur celui ci, la topologie induite par la topologie de la distance sur X.

Normalement tes exemples devraient etre clairs maintenant.

[invite4680bd1a]

Déja merci beaucoup pour ton explication qui m'a permit de bien mieux comprendre(j'ai même pu faire seule la démo que la topologie induite sur Y est bien une topologie, c'est assez simple)

Cependant je coince un peu plus sur le cas des espaces métriques et des topologies induites par les distances(comment ça marche ?) peux tu(ou quelqu'un d'autre bien sure je suis pas sectaire

Merci encore

[invite179e6258]

comment ça marche? : de deux façons.

soit tu considères sur X la topologie déduite de la distance et tu prends sur Y la topologie induite, comme précédemment.

soit tu considères sur Y la distance induite par celle de X et tu considères la topologie sur Y qui s'en déduit.

dans le premier cas il n'y a rien à montrer (tu l'as fait plus haut). Dans le second cas il faut montrer que le distance sur Y est bien une distance (c'est trivial). Enfin il te reste à montrer que les deux approches donnent la même topologie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Dans le cas "des topologies induites par les distances", le mot induite n'est plus le même (une distance n'est pas une topologie sur un sur-ensemble).
Avec une distance d sur E, on définit les boules ouvertes autour de tout élément a de E. On définit les ouverts comme les sous ensembles O de E tels que pour tout a de O, il existe r>0 tel que . A toi de montrer que l'ensemble de ces O est une topologie sur E.
Exemple : la distance d(a,a)=0; d(a,b)=1 si a et b sont différents définit une topologie dont les singletons sont ouverts (et fermés) : la topologie discrète.
Exemple : la topologie de la distance sur donnée par d(x,y)=|x-y| est la topologie habituelle.

Cordialement.