Topologie plus fine et maîtrisabilité

[zaskzask]

Bonsoir,

Connaissez vous un exemple d'espace topologique qui vérifie ceci?
métrisable non métrisable?

Ca me paraît bizarre, car si le premier est de Haussdorff, le second aussi.

Merci de votre aide!
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[invite90034748]

Bonjour,
c'est une bonne question. C'est faux, il faut prendre avec la topo standard, et avec la K-topologie (cf Munkres, tu rajoute juste un fermé supplémentaire, ). Il est pas normal (on ne peut pas séparer 0 et K) donc pas métrisable. C'est fait dans le Munkres, page
Je crois que j'avais trouvé un contre-exemple plus simple mais ça fait 10 minutes que je cherche et rien pour le moment...

[minushabens]

Sur R, T1 la topologie usuelle et T2=P(R) l'ensemble de toutes les parties de R.

[invite90034748]

Si T_2 est bien la topo discrete, alors c'est metrisable (engendre par la distance discrete, d(x,y) = 0 si x = y et 1 sinon).

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

ah oui je m'ai mélangé les pinceaux...

[invite90034748]

Les contre-exemples simples ne sont pas si simples ( ) , je n'arrive toujours pas a remettre la main sur le mien...

[invite02232301]

Voici un contre exemple.
ON prend R muni de la topologie engendrée par les ouverts usuels privé d'une union au plus denombrable de points. Elle est plus fine que l'usuelle.
Maintenant si on a une suit A_n qui converge vers A, alors soit U un ouvert contenant A, U privé des A_n qui ne sont pas A est toujours ouvert car l'ensemble {A_n, n dans N, A_n différent de A} est fermé. Donc A_n=A à partir d'un certain rang. Ainsi les suites convergentes sont les suites qui stationnent à partir d'un certain rang. Donc toute partie est séquentiellement fermée.
Rest à verifier que la topologie n'est pas discrete, pour cela il suffit de verifier que {0} n'est pas ouvert. Ce qui n'est pas le cas car on voit facilement qu'un ouvert non vide de la topologie a la puissance du continu.

[zaskzask]

Merci à tous pour vos réponses éclaircissantes

Bonjour,
c'est une bonne question. C'est faux, il faut prendre avec la topo standard, et avec la K-topologie (cf Munkres, tu rajoute juste un fermé supplémentaire, ). Il est pas normal (on ne peut pas séparer 0 et K) donc pas métrisable. C'est fait dans le Munkres, page
Je crois que j'avais trouvé un contre-exemple plus simple mais ça fait 10 minutes que je cherche et rien pour le moment...

Vous semblez bien connaitre le livre de Munkres. J'ai une question un par rapport à la notation qu'il utilise dans ce livre:
Pourquoi une topologie dont la base est les {]a,b], a,b dans R} est appelé ? Y a t-il un rapport avec la limite supérieure en analyse?

[invite90034748]

Bonjour,
J'ai effectivement étudié la topo dans le Munkres, c'était l'un de mes premiers livres de "vrai math" !! Pour répondre à ta question étudie la convergence des suites 1/n et -1/n, je pense que ça te donnera une intuition suffisamment général.

[zaskzask]

1/n n'appartient jamais à l'ouvert de base (a,0] donc (1/n) ne converge pas dans cette topologie. Par contre, via l'axiome d'archimède, il existe un N tel que n>N implique que -1/n appartient à (a,0]. donc (-1/n) converge dans cette topologie. Donc la conclusion est:
Si (xn) converge vers a dans la topo supérieure, alors (-xn) converge vers a et (+xn) converge pas?
Ca devrait pas être le contraire?

[invite90034748]

Tu as raison pour les convergences. Ta généralisation est fausse, pense à la suite (x_n) = (-1/n)^n. x_n -> 0 mais -x_n -> 0 même dans la topologie limsup.
Donc une suite qui converge "par le bas vers le haut vers a " (de gauche à droite dans R) va converger vers a. Mais a peut être vu comme la "limite supérieur" de x_n, donc cette topologie conserve la limite supérieur mais pas la limite inférieur.
Exemple : La suite donc les premiers termes sont donné par 1, 1.5, 0.5, 1.75, 0.25, 1.875, etc... va avoir une sous-suite qui converge vers 2, mais aucune sous suite qui converge vers 0 dans T_limsup.

[zaskzask]

D'accords, je vois. La topologie T_sup dont une base est {(-inf,a) avec a réel} conserve aussi quelque chose comme le limite inférieure ou supérieure?

[zaskzask]

j'oubliais quelque chose : la limite supérieure (comme la limite inférieure) de (1/n) est 0 donc si la topologie de la limite supérieure conserve la limite supérieure, la limite de (1/n) dans T_limsup devrait être 0 quand même, non?

[invite90034748]

Pour la dernière remarque : non c'est pour ça que j'ai mis des guillemets. Ça ne conserve pas toute les limites supérieures, car comme tu l'as remarqué la limite de 1/n est en particulier sa lim sup et elle n'est pas conservée.

Ta topologie m'a l'air de conserver les limites. Déjà, je pense que ta base est stable par union et intersection (finie) donc ta topologie est composé des ouverts (inf,a). Prenons 1/n et -1/n par exemple, elles convergent toutes les deux vers 0. Donc ta topologie a l'air de conserver les limites, mais est un peu étrange (pas Hausdorff...), et par exemple 1/n converge vers 3 (ou 42).

[zaskzask]

Donc elle s'appelle "topologie supérieure" simplement parce que les ouverts ont une borne supérieure?

[invite90034748]

À mon avis oui. (Je ne la connaissais pas).

[Universus]

Bonjour,

Au final ça ne reste qu'une question d'appellation, mais je ré-exprimerais ce qui a été dit sur les topologies et .

Pour la première topologie : considérons une suite réelle . Nous pouvons lui associer la suite de ses « supremums successifs », c'est-à-dire . Par définition, . Ce que la discussion a montré, c'est que dans la topologie , une suite converge vers sa limite supérieure, si cette dernière existe. En d'autres termes, une suite converge si et seulement si la suite auxiliaire de ses « supremums successifs » converge. L'appellation « topologie de la limite supérieure » ne signifie pas que les limites supérieures sont conservées, mais que l'étude de la limite d'une suite et l'étude de la limite supérieure d'une suite coïncident dans cette topologie.

Pour la seconde topologie : considérons encore une suite réelle . Posons l'ensemble de ses points limites et considérons un élément . Alors . En particulier, si , alors : l'étude de la convergence d'une suite se réduit à la connaissance du supremum de ses points limites.

[zaskzask]

Universus, je ne suis pas sur d'avoir compris.
Vous dites :

une suite converge si et seulement si la suite auxiliaire de ses « supremums successifs » converge

Si je prend u_n=(-1)^n par exemple. La suite des supremums successifs converge vers1 mais la suite ne converge pas dans T_limsup.
Il y a du avoir quelque chose que j'ai mal compris.

[Universus]

Vous avez parfaitement raison, c'est encore une erreur de ma part, ce qui m'indique qu'il est temps que je m'éloigne un peu de ce forum pour ne pas le polluer davantage

Je rebondis cependant sur une phrase de mon précédent message :

L'appellation « topologie de la limite supérieure » ne signifie pas que les limites supérieures sont conservées, mais que l'étude de la limite d'une suite et l'étude de la limite supérieure d'une suite coïncident dans cette topologie.

La partie en gras est erronée si on l'interprète comme je le faisais, pour la raison que vous avez relevée. Cependant, en maître de l'écriture vague que je suis, elle peut aussi s'interpréter différemment, interprétation la rendant vraie. La phrase suivante est meilleure :

« L'appellation "topologie de la limite supérieure" ne signifie pas que les limites supérieures sont conservées, mais sert au contraire à relever qu'elles ne le sont pas nécessairement. Ce faisant, l'étude de la limite d'une suite consiste beaucoup à étudier comment la limite supérieure de ladite suite dans cette topologie diffère de celle dans la topologie usuelle. »

En effet, la suite des « infimums successifs » d'une suite étant croissante, la limite inférieure existe dans si et seulement si elle existe dans la topologie usuelle et, dans ce cas, est la même. En ce sens, les limites inférieures sont « conservées » dans le passage d'une topologie à l'autre. Ainsi, l'étude de la convergence d'une suite dans la topologie de la limite supérieure se réduit à la procédure suivante :

1) Considérer la suite dans la topologie usuelle. Converge-t-elle ? Si oui, passer au point 2 ; sinon, elle ne converge pas dans la topologie de la limite supérieure.
2) Puisqu'elle converge dans la topologie usuelle, la limite inférieure existe dans les deux topologies (et est la même). Est-ce que la limite supérieure converge dans la topologie éponyme ? Si oui, alors la suite converge ; sinon, alors elle ne converge pas.

Dans l'exemple que vous m'avez donné, la réponse à la partie 1 était « non ». Il était ainsi assuré que la suite ne convergeait pas plus dans la topologie de la limite supérieure, quand bien même la limite sup existe.

En d'autres termes, la topologie de la limite supérieure diffère de la topologie usuelle dans sa façon dont elle traite les suites décroissantes : la topologie de la limite supérieure est moins encline à les faire converger, ne faisant converger que les suites décroissantes éventuellement constantes, mais c'est la seule différence avec la topologie usuelle. C'est dans la convergence de la limite supérieure d'une suite que se trouve la nuance avec la convergence usuelle, d'où probablement le nom.

Cordialement.