Forte variation de l avaleur calculée de PI

[Francisco71]

Bonsoir,

Un petit problème amusant qui je l'espère vous fera sourire si vous ne le connaissez pas déjà.

On vas considérer un demi cercle de rayon R=1 dont la demi circonférence vaut bien entendu PI et de diamètre bien entendu de 2 avec un angle entre 0 et PI.
On vas considérer maintenant une forme géométrique composée d'un nombre de "i" demis cercles se joignant bout a bout en alternance et de diamètre pour chacun de 2/i donc la somme des diamètres reste 2. (2*i/i=2), voyez ça comme une vague de plus en plus petite dessinée entre -1 et 1. Pour i = 2 on a un demi cercle de diamètre 1 angle de 0 à pi joint un demi cercle de diamètre 1 angle de -PI à zéro. Donc comme une vague ~

Soit pour le rayon de chaque demi cercles : R[i]=1/i, i élément de N et R élément de R.
Pour une valeur de "i"=1, nous avons évidemment pour cette forme une longueur de L[1]=(2*PI*R[1]/2), i élément de N, i=1 avec R[i]=1. Soit L[1]=(PI*R[1])

Voyons avec une telle relation R[n]=1/n, n élément de N et donc L[n]=n*(PI*R[n])

Pour "i"=2, nous avons pour cette forme une longueur de L[2]=2*PI*R[2]/2), i élément de N avec R[2]=1/2 soit par définition R[i]=1/i
donc L[2]= 2*PI*1/2= PI : cette forme ~

En itérations on va aller vers ´de i=2 ~ vers i=4 ~~ puis i=6 ~~~ puis etc...

Pour "i", nous avons pour cette forme une longueur de L[n]=n*(PI*R[n])=PI pour tout n élément de N

Voyons comment cette fonction itérative se comporte aux limites. Nous avons déjà vu que cette fonction est bornée incluse entre -1 et 1 en x (angles)
Le maximum/minimum de cette fonction sur l'axe des y est équivalent aux max/min des rayon des cercles joints (tous équivalents R[i]=1/i) :
donc MAXy[i]=1/i, de même Miny[i]=1/i
donc quand i-> infini, MAX[i] tend vers zéro de même que MINy[i]
L'épaisseur y de la forme tend vers zéro, ...

Il s'en suit que L[i]=2 donc le diamètre de base quels que soit i élément de N car L[i]= 2*i*R[i] = i*1/i = 2

On en arrive donc a 2 = L[i] = i*PI*1/i = PI quel que soit i élément de N

Donc PI=2

A+, en espérant avoir paumé personne sans schéma, mais je ne sias pas encore comment le smettres
François
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[gg0]

Bonjour.

C'est un "raisonnement" connu depuis longtemps. J'ai mis "raisonnement" entre guillemets car il y a une faute de logique : Croire que quand une courbe tend vers une autre, la longueur de l'une tend vers la longueur de l'autre.
Pour le schéma, tu peux le faire avec l'outil que tu veux, le mettre sous un des formats acceptés (voir en mode "répondre" ou en "mode avancé", bien en dessous de la zone "répondre", la partie "pièces jointes".

Cordialement.

NB : En choisissant bien la courbe, on peut même trouver 2=+oo.

[Tryss2]

On peut faire plus simple d'ailleurs :

On découpe un segment de longueur 1 en n intervalles de même longueur, on construit n triangles équilatéraux de coté 1/n ayant pour base chacun de ces intervalles, et on "montre" alors par le même principe que 1=2.

[f6bes]

A+, en espérant avoir paumé personne sans schéma, mais je ne sias pas encore comment le smettres
François

Bjr à toi,
Suivre cette procédure:
https://forums.futura-sciences.com/d...procedure.html
Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Donc PI=2

Les physiciens savent depuis longtemps que

(ça doit dériver du théorème du physicien, qui dit que "1 = 2, pour les grandes valeurs de 1").

[eudea-panjclinne]

Ce problème est connu en théorie de l'intégration, ce qui est utilisé ici est une mesure différente de celle de Lebesgue qui est la mesure habituelle des segments. Je laisse des personnes plus expertes (j'ai un peu oublié mon cours d'intégration...) expliquer la chose.

[gg0]

Plutôt la mesure des longueurs des courbes planes.
J'y reviendrai quand j'aurai le temps, si personne ne l'a expliqué avant.

Cordialement.