Une question me vient à l'idée est il possible de démontrer ou trouver une expression de la constante qui relie le périmètre d'un cercle à son rayon en fonction de la courbure?et est ce généralisable à des surfaces avec des courbures variables? Je crois qu'une façon de le faire dans le plan est de calculer l'intégrale curviligne d'un demi cercle paramètré (x=t, y=\sqrt{r^2-t^2}) mais je ne vois pas comment le faire sur une surface courbe.
Êtes vous sûr de votre question, car telle qu'elle est posée la réponse est 2Pi ?Une question me vient à l'idée est il possible de démontrer ou trouver une expression de la constante qui relie le périmètre d'un cercle à son rayon en fonction de la courbure?
nope la réponse n'est pas 2Pi
Bonjour,
Si je comprends bien, il s'agit de trouver le périmètre d'un cercle tracé sur une variété métrique de dimension 2. (le cercle étant l'ensemble des points situés à la même distance (llongueur de la géodésique) du centre
Dans le cas d'une surface de coubure de gauss constante k (positive en géométrie sphérique, négative en hyperbolique), si on appelle R le rayon de courbure égal à la racine carrée de la valeur absolue de k, la réponse est assez simple :
C(r)=2pi.R.sin(r/R) en sphérique et C(r)= 2.pi.R.sinh(r/R) en hyperbolique
On retrouve bien que cela tend vers 2.pi.r quand R tend vers l'infini (ou bien que r tend vers zéro).
Par contre, je ne sais pas très bien comment écrire l'intégrale dans le cas d'un cercle de rayon fini sur une variété de courbure variable.
Dernière modification par Resartus ; 02/08/2018 à 22h57.
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Oups,
Il fallait bien sûr lire que le rayon de courbure est l'inverse de la racine carré de la valeur absolue de la courbure de gauss
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Le problème, c'est que j'ai l'impression que ça dépend de la courbure sur tout l'intérieur du cercle, et pas seulement sur (un voisinage) du cercle.
Par contre, je ne sais pas très bien comment écrire l'intégrale dans le cas d'un cercle de rayon fini sur une variété de courbure variable.
Oui, car s'agissant de la distance constante au centre pour tout point du "cercle", avant d'en calculer la "circonférence" ,Envoyé par Tryss2
Il est nécessaire de connaitre ( si O est le centre ) toutes les valeurs de f(r,théta) .
suggestion ?
En supposant que la surface soit continue et dérivable et ne présente pas de "repli" ( une seule valeur de f(theta,r)
On peut peut être imaginer commencer par calculer ( si Ra est la distance voulue )
tel que
Puis intégrer le long de la courbe obtenu , soit analytiquement ( si c'est possible ) ou numériquement de manière approchée.
Voici une proposition qui nécessite d’avoir quelques connaissances en géométrie différentielle.
On suppose connue pour une surface de IRˆ3 la forme de première espèce
dsˆ2=Eduˆ2+Fdudv+Gdvˆ2
Soit une nappe paramètrée F : IRˆ2——>IRˆ3, lisse, injective et régulière (1), définie sur un ouvert de IRˆ2 contenant (0,0). On note S la nappe géométrique associée.
1) Il faut d’abord déterminer une équation des géodésiques de S.
C’est un système de 3 équations différentielles du second ordre en u et v par rapport à s, abscisse curviligne de la courbe. On trouvera ces équations dans
Darboux G, Leçons sur la théorie générale des surfaces, Tome II, p 404, Galica BNF.
Equations Différentielles
Le système est en général non intégrable de façon élémentaire sauf sur un petit nombre de cas comme le plan ou la sphère.
Les solutions sont, en théorie, de la forme u=U(s,a,b), v=V(s,c,d)
Les constantes a,b,c,d correspondant aux points initiaux et finaux de la géodésique :
u0=U(0,a,b) u1=U(s1,a,b)
v0=V(0,c,d) v1=U(s1,c,d)
En spécifiant F(0,0) comme point initial et F(u1,v1) comme point final, avec s1 longueur sur S de la géodésique entre ces point. On prend des points suffisamment éloignés du point correspondant à F(0,0) pour que s1>1.
2) Un fois le système intégré, vous obtiendrez une famille de courbes géodésique sur S rayonnant à partir du point F(0,0) vers les points F(u1,v1). On considère ensuite :
u=U(1,a,b)
v=V(1,c,d) pour une géodésique allant en F(u1,v1)
Le point F(u,v) est un point du S-cercle de centre F(0,0) et de S-rayon =1.
3) A partir d’une courbe C de S ne restant éloigné de F(0,0), dont on prend les points comme points finaux on pourra obtenir une partie de ce S-cercle, image des points de C et en déduire éventuellement des propriétés…
De toute façon ce problème me parait compliqué d’une façon générale. Je pense qu’il faut rester dans une certaine localité pour s’assurer au moins que par deux point de S ne passe qu’une seule géodésique. Le mieux est d’essayer de le traiter sur des cas particuliers simples où l’on peut intégrer les équations différentielles des géodésiques, analyser ce qui se passe et voir si la méthode peut marcher…
(1) Géométrie différentielle, V Guedj, 2015
Errata: il faut lire pour la forme de première espèce : dsˆ2=Eduˆ2+2Fdudv+Gdvˆ2.
Le calcul du S-cercle se fait facilement dans le cas d'un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au cercle directeur.
