Partie dense dans R

**mehdi_128** · 03/08/2018, 16h40

Bonjour,

Soit A une partie de $\text{[math]}$ .
A est dense dans $\text{[math]}$ est équivalent à : $\text{[math]}$

Je suis dans la démonstration de la propriété suivante : l'ensemble des nombres irrationnels est dense dans $\text{[math]}$ .
Soit X,Y deux réels tels que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Et là j'ai pas compris la suite :

De la même façon, il existe un rationnel $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ est un réel donc on peut trouver un rationnel entre les réels $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ Pourquoi une inégalité stricte ?

**pm42** · 03/08/2018, 16h42

Pour dire rapidement que q2 est différent de q1 ?

**gg0** · 03/08/2018, 16h55

Effectivement,

la propriété de base n'est pas appliquée. Par contre on peut remarquer que $\text{[math]}$ est entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et prendre $\text{[math]}$ dans cet intervalle.

Cordialement.

**mehdi_128** · 03/08/2018, 19h58

Envoyé par pm42

Pour dire rapidement que q2 est différent de q1 ?

D'après la propriété du cours il existe un rationnel q2 tel que : $\text{[math]}$

Qui nous dit que $\text{[math]}$ ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 03/08/2018, 20h00

Envoyé par gg0

Effectivement,

la propriété de base n'est pas appliquée. Par contre on peut remarquer que $\text{[math]}$ est entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et prendre $\text{[math]}$ dans cet intervalle.

Cordialement.

Qui nous dit que $\text{[math]}$ ?

**pm42** · 03/08/2018, 20h01

Sans deconner ?

**mehdi_128** · 03/08/2018, 20h15

Il faut aussi montrer que $\text{[math]}$ est un rationnel. Je vois pas comment.

**pm42** · 03/08/2018, 20h22

Envoyé par mehdi_128

Il faut aussi montrer que $\text{[math]}$ est un rationnel. Je vois pas comment.

Normal parce que ce n’est pas nécessaire. Et aussi parce que c’est faux.

**mehdi_128** · 03/08/2018, 20h25

Mais oui je suis bête par contre c'est pas évident pour moi que :

$\text{[math]}$

**pm42** · 03/08/2018, 20h34

Envoyé par mehdi_128

Mais oui je suis bête par contre c'est pas évident pour moi que :

$\text{[math]}$

Cela se démontre algebriquement facilement mais sinon c’est le milieu de [q1, Y].

**mehdi_128** · 03/08/2018, 21h08

Envoyé par pm42

Cela se démontre algebriquement facilement mais sinon c’est le milieu de [q1, Y].

Ah oui !

Par contre $\text{[math]}$ peut être égal à $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ donc y a un souci non ?

**gg0** · 04/08/2018, 00h26

J'ai l'impression que tu as une démonstration mal ficelée.
En général, on se contente de démontrer qu'entre 2 rationnels distincts, il y a toujours un irrationnel (on le démontre pour les rationnels positifs avec le caractère archimédien de $\text{[math]}$ , puis on étend), puis on prend une définition sérieuse de la densité (soit particulière à $\text{[math]}$ ,soit topologique générale).

Là, du départ, on a une définition mal construite. Je ne sais pas à partir de quel document tu travailles, mais tu devrais prendre des bouquins sérieux.

Cordialement.

**mehdi_128** · 04/08/2018, 12h26

Analyse Gilles Costantini 2016 MPSI/PCSI

Bonjour,

Soit A une partie de $\text{[math]}$ .
A est dense dans $\text{[math]}$ est équivalent à : $\text{[math]}$

Ma définition de la densité est mauvaise ? On m'a dit que l'inégalité devrait être stricte ....

Je suis dans la démonstration de la propriété suivante : l'ensemble des nombres irrationnels est dense dans $\text{[math]}$ .
Soit X,Y deux réels tels que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est dense dans $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

De la même façon, il existe un rationnel $\text{[math]}$
Paramétrons le segment $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

Prenons $\text{[math]}$
Ainsi : $\text{[math]}$

Le nombre z : $\text{[math]}$ est bien irrationel.

Si z était rationnel alors $\text{[math]}$ le serait aussi et $\text{[math]}$ aussi contradiction !

**pm42** · 04/08/2018, 12h37

Le fait que l'inégalité soit stricte ne change rien.

Pour démontrer que les irrationnels sont denses si on sait que les rationnels le sont, c'est simple.
On prend $\text{[math]}$ . On prend un rationnel q dans $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$
On prend n tel que $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$
Comme q est rationnel et que $\text{[math]}$ est irrationnel, leur somme est irrationnelle.
On a donc trouvé un irrationnel entre X et Y. Prouvant la densité.

invite51d17075 · 04/08/2018, 12h52

Envoyé par gg0

En général, on se contente de démontrer qu'entre 2 rationnels distincts, il y a toujours un irrationnel
.

je dois avoir mal dormi, mais n'est ce pas l'inverse.
sinon je prend les entiers , et entre deux entiers , il existe un irrationnel , mais N n'est pas dense dans R.

**mehdi_128** · 04/08/2018, 12h53

Envoyé par pm42

Le fait que l'inégalité soit stricte ne change rien.

Pour démontrer que les irrationnels sont denses si on sait que les rationnels le sont, c'est simple.
On prend $\text{[math]}$ . On prend un rationnel q dans $\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$
On prend n tel que $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$
Comme q est rationnel et que $\text{[math]}$ est irrationnel, leur somme est irrationnelle.
On a donc trouvé un irrationnel entre X et Y. Prouvant la densité.

Pas compris à partir de : "On prend n tel que $\text{[math]}$ "

**pm42** · 04/08/2018, 13h01

Envoyé par mehdi_128

Pas compris à partir de : "On prend n tel que $\text{[math]}$ "

Je ne sais pas quelle est ta formation mais c'est comme pour le (x+y)/2 plus haut : des maths niveau collège.
C'est difficile de t'expliquer de la topologie si tu bloques sur des choses comme ça.

**mehdi_128** · 04/08/2018, 13h10

Envoyé par pm42

Je ne sais pas quelle est ta formation mais c'est comme pour le (x+y)/2 plus haut : des maths niveau collège.
C'est difficile de t'expliquer de la topologie si tu bloques sur des choses comme ça.

Euh non vous sortez un $\text{[math]}$ de nulle part et je suis censé comprendre ce que vous faites ?

Ma formation prépa MPSI/MP y a 7 ans puis école d'ingé...

Je pose parfois des questions triviales oui mais là c'est incompréhensible votre truc.

**gg0** · 04/08/2018, 13h11

Ansset,

j'étais dans le fil de ce que disais Mehdi128 : Il utilise le fait que $\text{[math]}$ est danse dans $\text{[math]}$ , je l'utilise donc aussi.
Attention pour ton "contre-exemple", il faudrait prouver qu'entre deux rationnels il y a bien un entier, pour conclure (je traitais de la densité des irrationnels, c'est le sujet).

Cordialement.

**gg0** · 04/08/2018, 13h13

Mehdi_128,

en général, pour rester en cohérence avec la notion de densité dans les espaces topologiques généraux, on prend des inégalités strictes. Et ça évite tous les problèmes que tu rencontres (enfin, ceux liés à la preuve que tu lis).

Cordialement

**pm42** · 04/08/2018, 13h18

Envoyé par mehdi_128

Je pose parfois des questions triviales oui mais là c'est incompréhensible votre truc.

Oui. C'est comme le (x+y)/2...
Ou d'utiliser $\text{[math]}$ quand on a besoin d'un irrationnel.

C'est une démo élémentaire niveau prépa et qu'on pourrait faire comprendre à un élève de lycée.

**mehdi_128** · 04/08/2018, 13h40

Bah dans le livre dans lequel j'étudie, ils n'utilisent pas $\text{[math]}$ dans les démonstrations mais plutôt $\text{[math]}$

**mehdi_128** · 04/08/2018, 13h43

J'ai compris :

Le produit d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnel.

Par contre pourquoi vous utilisez pas : $\text{[math]}$ ?

Vu que $\text{[math]}$ on peut toujours trouver un rationnel plus petit que $\text{[math]}$

**gg0** · 04/08/2018, 13h44

Mehdi_128,

ta difficulté vient du fait de passer ton temps à essayer de comprendre des preuves sans avoir essayé de les faire. Toutes tes questions "élémentaires" sont évidentes pour qui a essayé de rédiger sa propre preuve. Je suis même persuadé que tu n'as même pas imaginé la situation en plaçant sur un axe X et Y, puis les autres nombres dont on a parlé.
De plus, tu veux comprendre pourquoi on fait ceci et cela, alors qu'une preuve n'est pas une question de pourquoi, mais de rigueur. Inutile de critiquer Pm42, la seule chose qui compte c'est de savoir si sa preuve est juste, qu'elle utilise des expressions compliquées dont tu ne sais pas d'où il les a sorties ou pas.
"Oui, mais comment je fais quand c'est moi qui dois démontrer ?" ben justement, tu ne fais rien pour ça puisque tu n'essayes pas toi-même de faire les preuves.
Tu tournes en rond, tu perds ton temps.

Un bon conseil : laisse tomber le bouquin, fais un dessin, cherche ta preuve à toi. Avec Pi/n si tu préfères.

invite51d17075 · 04/08/2018, 13h50

Envoyé par gg0

Ansset,

j'étais dans le fil de ce que disais Mehdi128 : Il utilise le fait que $\text{[math]}$ est danse dans $\text{[math]}$ , je l'utilise donc aussi.
Attention pour ton "contre-exemple", il faudrait prouver qu'entre deux rationnels il y a bien un entier, pour conclure (je traitais de la densité des irrationnels, c'est le sujet).

Cordialement.

oups, effectivement, je viens de relire le premier post, que j'avais lu trop vite.( et donc un peu à l'envers )
Cdt

**mehdi_128** · 04/08/2018, 13h57

Envoyé par gg0

Mehdi_128,

ta difficulté vient du fait de passer ton temps à essayer de comprendre des preuves sans avoir essayé de les faire. Toutes tes questions "élémentaires" sont évidentes pour qui a essayé de rédiger sa propre preuve. Je suis même persuadé que tu n'as même pas imaginé la situation en plaçant sur un axe X et Y, puis les autres nombres dont on a parlé.
De plus, tu veux comprendre pourquoi on fait ceci et cela, alors qu'une preuve n'est pas une question de pourquoi, mais de rigueur. Inutile de critiquer Pm42, la seule chose qui compte c'est de savoir si sa preuve est juste, qu'elle utilise des expressions compliquées dont tu ne sais pas d'où il les a sorties ou pas.
"Oui, mais comment je fais quand c'est moi qui dois démontrer ?" ben justement, tu ne fais rien pour ça puisque tu n'essayes pas toi-même de faire les preuves.
Tu tournes en rond, tu perds ton temps.

Un bon conseil : laisse tomber le bouquin, fais un dessin, cherche ta preuve à toi. Avec Pi/n si tu préfères.

Je vois !

Mais j'ai très bien compris la preuve du bouquin, le seul point de doute était le q1 pourquoi la borne était ouverte !

Mais vous avez raison, il faut chercher les démos par soi-même avant de regarder la solution de l'auteur.

Partie dense dans R

Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Re : Partie dense dans R

Discussions similaires

Partie dense dans une partie dense

{Topologie} Q partout dense dans R mais Z non-dense dans R ?

partie fractionnaire de nx dense dans [0,1] si x irrationnel

Ensemble dense dans [0,1] - partie entière

Groupes, partie dense de |R [PCSI]