partie fractionnaire de nx dense dans [0,1] si x irrationnel

[invite10c0f164]

Bonsoir,
je sais que c'est assez classique mais je n'arrive pas à me rappeler comme montrer:

Si alors est dense dans

merci d'avance
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[invite10c0f164]

c'est peut-être pas si classique, mais sûrement qu'une solution ne faisant pas appel à la théorie ergodique est connue...
est la partie fractionnaire de , c'est à dire au quel on a retranché sa partie entière

[invite10c0f164]

je détaille un peu:

il suffit de montrer que si alors tq tq

[invitebfd92313]

en écrivant Z l'ensemble des entiers relatifs, ton ensemble est égal à Z+xZ intersecté avec [0,1[. Z+xZ est un sous-groupe additif de R, et il est dense dans R, sinon il serait de la forme aZ avec a dans R, et comme 1 est dans aZ, a est rationnel mais d'autre part x est dans aZ et donc x serait rationnel également.
finalement l'intersection avec [0,1[ est dense dans [0,1[

edit : le point principal est qu'un sous-groupe additif de R est soit de la forme aZ, soit dense dans R (c'est un résultat classique que tu connais surement)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite10c0f164]

Merci(avec un peu de retard),
c'est convainquant mais il ne me semble pas évident que cet ensemble soit égal à Z+xZ intersecté avec [0,1[, bien que je pense que ce soit vrai...

[invite10c0f164]

Si, c'est évident en fait:

Donc, merci.