Bonsoir, je bloque sur un exercice:
Soit f une application de R+ dans R+ strictement croissante telle que :
lim(f(x+1)-f(x))=0 en +inf
et telle que f est non majorée.
Il faut montrer que l'ensemble E={f(n)-E(f(n)),n entier naturel} est dense dans [0,1].
Cependant je ne sais pas par où commencer. Merci de me donner une indication.
essaye deja de t'imaginer ce qu'il se passe en interprétant les différentes proposition. Graphiquement si tu découpes le plan en bandes horizontales de largeur 1, tu veux prouver que pour tout epsilon strictement positif et tout h dans [0,1] tu peux trouver un entier n tel que f(n) se trouve à la hauteur h à epsilon près dans une des bandes.
Essaye de visualiser la chose et essaye de voir visuellement en quoi les hypothèses sur f vont permettre d'arriver à ca.
Normalement quand tu auras bien compris ce qu'il se passe tu sauras ou commencer, ce sera juste un problème de formalisation.
Merci de tes conseils.
f est strict. croissante donc f(x+1)>f(x) et f n'est pas majorée mais comment utiliser la limite?
Sinon si j'ai compris je dois montrer que pour tous a et b elements de [0,1], avec a<b, il existe c element de E tel que a<c<b.
oui c'est bien ca que tu dois prouver, et l'hypothèse de limite te permet de trouver des valeurs de f tres proches les unes des autres.
On a donc c=partie fractionnaire(f(n))
mais comment montrer que c convient?
je ne vois pas ce que tu veux dire, j'ai l'impression que tu ne comprends pas la logique de l'exercice. tu te donnes a et b dans [0,1], il faut que tu utilises les propriétés de ta fonction f pour construire un entier n tel que f(n) - E(f(n)) soit compris entre a et b.
En fait j'ai compris le but de l'exercice, mais j'arrive pas à débuter.
Quand je cherche un c qui fonctionne.
comme je te l'ai déjà dit, il faut visualiser ce qui se passe pour comprendre par ou commencer, de la meme manière qu'il faut d'abord se représenter le chemin d'un point A à un point B pour savoir quel est la première direction a choisir
je te donne l'idée de départ : il faut te placer pour des grandes valeurs de x de sorte que f(x+1) soit proche de f(x), et ensuite tu peux partir d'une valeur de f et monter petit à petit vers une valeur qui t'intéresse.
