Partie entière

[invite2220c077]

Salut,

Soit entier naturel. On considère l'entier

Montrer que pour tout , cet entier est un carré parfait.

En fait, j'aimerai avoir vos démonstrations. En particulier, une démonstration plus arithmétique. Non pas que je n'ai pas réussi cet exercice, mais j'aimerai avoir d'autres approches. Bon, pour rester dans les règles afin qu'on ne croit pas que je veux une réponse toute fraîche pour mon DM, je vais quand même donner ma réponse :

On considère la suite
On vérifie que , avec et . Une simple récurrence nous permet alors d'affirmer que est un entier naturel, pour tout .

Comme et , on obtient l'encadrement suivant :



Si bien que



On veut donc montrer que est un carré parfait. C'est immédiat :



D'ailleurs, ça permettra de voir si une erreur s'est glissée.

Merci !
-----

[invite2220c077]

WTF ?????? Je ne comprends pas, quand j'ai cliqué sur OK, mon code a changé, y'a des ** qui sont apparus ! Même après modifications !

[Thorin]

ouais, c'est comme ça partout

[invite2220c077]

Comment ça ?

Bon, voici le message que vous auriez du voir : http://img156.imageshack.us/img156/7302/81733395.png

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Comme l'a dit Thorin, il y a un problème dans le latex du forum.

[invite2220c077]

Oui, je viens de voir ça ...

[invitef1b93a42]

Pourrais-tu réécrire l'énoncé s'il te plaît ? Il m'intéresse, mais l'image que tu fournis par l'autre lien est assez illisible... Merci d'avance

[Thorin]

http://img156.imageshack.us/img156/7302/81733395.png

[invite2220c077]

Soit entier naturel. On considère l'entier

Montrer que pour tout , cet entier est un carré parfait.

 Cliquez pour afficher

On considère la suite
On vérifie que , avec et . Une simple récurrence nous permet alors d'affirmer que est un entier naturel, pour tout .

Comme et , on obtient l'encadrement suivant :



Si bien que



On veut donc montrer que est un carré parfait. C'est immédiat :



Donc l'entier considéré est bien un carré parfait et ce pour tout naturel