ensemble dense

[invite5c83877e]

Bonjour, j'ai des difficultés pour comprendre pourquoi Q est-il dense?
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[Thorin]

Dans R ?
A quel moment de la démo as tu du mal ?

[Thorin]

Q est dense dans R parce que si tu prends 2 réels au pif, tu arriveras toujours à trouver un rationnel au milieu

[thepasboss]

Bonjour, une démonstration rapide de la densité de Q dans R :

soit x et y deux réels distincts, on suppose x > y

Donc x - y > 0, et il existe donc un entier naturel n non nul tel que n*x - n*y > 2, donc n*x > 2 + n*y, et donc il existe un entier naturel q tel que :

n*x > q > n*y et donc x > q/n > y, or q/n est un rationnel, ce qui prouve la densité ^^

[A voir en vidéo sur Futura]