Integral

[Kley]

Salut à tous,
Comment arriver à ce résultat !!!


Pouvez-vous me fournir la démonstration détaillée SVP ?

Merci.
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Cela ressemble vaguement à une équation de rayonnement... Cela serait bien de détailler un peu pour ceux qui ne connaissent pas. Que représentent les constantes , , et la variable ?

[invitea41c27c1]

Ah c'est l'equation du rayonnement ! Eh bien je sais repondre alors:

Tu fais le changement de variable : et tu obtiens :
,

Et c'est toute l'integrale qui vaut apres application numerique

[Kley]

Ah c'est l'equation du rayonnement ! Eh bien je sais repondre alors:

Tu fais le changement de variable : et tu obtiens :
,

Et c'est toute l'integrale qui vaut apres application numerique

Oui mais comment aboutir à:


??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea41c27c1]

A la calculatrice ou ordinateur... En tout cas il n'y a pas d'expression mathematique pour simplifier l'integrale.

Rappel et

[Kley]

A la calculatrice ou ordinateur... En tout cas il n'y a pas d'expression mathematique pour simplifier l'integrale.

Donc uniquement par calcul d’air?

[invitec053041c]

A la calculatrice ou ordinateur... En tout cas il n'y a pas d'expression mathematique pour simplifier l'integrale.

Non, on a une expression analytique de cette intégrale, ce qui nous fournit une expression exacte de .

On a:


Ce qui donne:




voir par exemple: http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Stefan-Boltzmann

Cordialement,
François

[Flyingsquirrel]

Non, on a une expression analytique de cette intégrale, ce qui nous fournit une expression exacte de .

On a:

En fait on a même une expression plus générale :

où est la fonction zêta de Riemman, la fonction Gamma d'Euler et un entier. Ça peut se montrer en utilisant des outils de spé. (interversion des symboles somme et intégrale)

[invitec053041c]

En fait on a même une expression plus générale :

Joli résultat !

[Kley]

On a:

En fait on a même une expression plus générale :

Y a-t-il moyen de mettre la main sur la démonstration (complète) de l’un des deux résultats SVP.

[Flyingsquirrel]

Y a-t-il moyen de mettre la main sur la démonstration (complète) de l’un des deux résultats SVP.

Regarde cette page : http://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law. La démonstration que tu cherches est donnée dans l'appendix.

[Kley]

Regarde cette page : http://en.wikipedia.org/wiki/Planck%27s_law. La démonstration que tu cherches est donnée dans l'appendix.

Merci beaucoup je vais voir ça.

[Kley]

re.

Une étape m'echappe:







A en voir la différentielle k est une constante.

Comment donc manipuler les termes k.

Le exp(-u) ne fait plus apparaitre de k !!! :il peut donc être sortie de la somme!!!Par contre leva passer dans la somme!.


Qu’est ce qui nous permet de réaliser ces opérations (ça ne m’est pas si évident !)merci.

[invitec053041c]

J'ai pas regardé en détail, mais j'avoue qu'ils ont une drôle de manière de faire (ils sortent un k de la somme indexée par k..).
Le raisonnement n'est pas à jeter pour autant, je te conseille juste de faire l'interversion somme/intégrale, PUIS de faire un changement de variable pour chaque intégrale (c'est ce qu'ils ont voulu faire je pense)

[invitea41c27c1]

Il faut passer cet etape la:



(Il y a des theoremes qui permettent de guarantir l'interversion de la somme et de l'integrale)

Puis en faisant le changement de variable on obtient :

[Kley]

Il faut passer cet etape la:



(Il y a des theoremes qui permettent de guarantir l'interversion de la somme et de l'integrale)

Puis en faisant le changement de variable on obtient :

OK.

Merci à tous pour votre aide.