Quel est l'ensemble le plus dense ? l'ensemble des rationnels ou celui des irrationnels ?
Soit une droite graduée, si vous mettez un point au hazard sur cette droite, combien de chance pour que l'abscisse soit un rationnel et combien de chance pour que l'abscisse soit un irrationnel ?
Salut.
IQ est dénombrable, et IR ne l'étant pas, IR/IQ (irrationnels) n'est pas dénombrable.
Donc la probabilité de tomber sur un rationnel est nulle rigoureusement (donc "100% de chance" de tomber sur un irrationnel , à savoir probabilité=1).
je ne comprends pas ton raisonnement Ledescat, comment tu modélises cette expérience aléatoire de "tomber sur un réel"?
En considérant qu'il n'y a pas de lieu privilégié aux rationnels/irrationnels dans IR (genre des paquets de rationnels...), bref, j'ai juste écrit probabilité de tomber sur un rationnel=card(IQ)/card(IR)=0Envoyé par rhomuald
mais tu fais une division de cardinaux infinis, ça a un sens?
Donc, si je comprend bien, l'ensemble des irrationnels est plus dense ?
Peut-on parler de densité des ensembles en math ? ou Peut-on comparer en mathématiques la densité des ensembles, comme le souligne ma question ?
Je veut dire est ce que ma question est valable ?
Oui, cela a un sens, on note :mais tu fais une division de cardinaux infinis, ça a un sens?
Bien-sûr, et c'est même une notion très bien définie en maths. IQ est dense dans IR, IR/IQ aussi. En revanche, je ne sais pas (je ne pense pas, à vérifier) que la notion de "plus dense" ait un sens..Peut-on parler de densité des ensembles en math ?
Donc pour repondre à ma première question, l'ensemble des irrationnels est plus dense ?
Ce que je veut dire par plus dense, c'est qu'il contient beaucoup plus d'éléments.
Ca dépend ce que tu veux dire par "plus dense"..
ok, je ne connaissais pas, merci Ledescat.Oui, cela a un sens, on note :
Bien qu'ils soient tous les deux infinies, sur tout l'ensemble et dans un même intervale, R contient beaucoup plus d'élément que Q.
Par exemple lensemble {1,2,3,4,5} et l'ensemble {0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 2.5 , 3}:
Dans l'intervalle [1 , 3] le deuxième ensemble contient plus d'élément que le premier, 2x plus.
Je veut comparer l'ensemble des irrationnels que je nomme II et l'ensemble Q ?
IN et IQ sont en correspondance bijective (= ont autant d'éléments).
IR\IQ et IR ont sont en correspondance bijective (=ont autant d'éléments).
Il n'y a pas de surjection de IN sur IR (=IR a beaucoup plus d'éléments que IN)
Bilan:
IQ = IN < IR = IR\IQ
Salut.
Je te préviens de suite qu'il faut faire très attention lorsqu'on aborde les cardinaux infinis, sur les relations d'ordre : "plus d'éléments que etc."
Pour des cardinaux finis, c'est facile, card {1,2}=2< card{4,7,9}=3
Mais par exemple, card([0,1])=card(IR).
Car le cardinal se traduit en terme d'existence de bijection entre ensembles.
Pour les cardinaux, oui.IQ = IN < IR = IR\IQ
Salut !
Le bon cadre pour répondre à cette question, c'est la théorie de la mesure (l'intégral de lebesgue)
quand on prend un réel au hasard entre 0 et 1, la probabilité qu'il soit dans un certain ensemble A, c'est la mesure de A, ou encore l'intégral de l'indicatrice de A, par exemple on à une chance sur deux que x soit dans [0,1/2]
apres on utilise les propriété de l'intégral de lebesgue : la convergence dominé, l'indicatrice de Q est la limite d'une suite de fonction qui sont non nul seulement sur un nombre finit de point : on numérote l'ensemble des rationelles entre 0 et 1 r0...rn... et on pose fn(x)=1 si x est un rk, k<n 0 sinon, fn(x)->l'indicatrice de Q, et fn(x)<=1, donc par convergence dominé l'intégral de l'indicatrice de Q est la limite de l'intégral de fn, qui vaut 0 pour tous n
bref Q est "moins denseé que R-Q dans le sens ou il est de mesure de lebesgue nul.
note : prendre un réel au hasard dans R tous entier n'as pas vraiment de sens, il n'y a pas de loi uniforme sur R : on arrive vite à des contradiction, du genre pour tous entier n, la probabilité que x>N devrait etre 1, donc en réel pris au hasard serait avec une probabilité 1 supérieur à tous les entier..., c'est pour cela que je me restreint a [0,1]
Ou alors, le résultat est immédiat en partant de la définition d'une mesure (la mesure de l'union dénombrable de parties disjointes est la somme des mesures des parties). Mais il y en a qui ne doivent pas connaître, donc il est vrai qu'il vaut mieux utiliser des voies détournées.
Sinon, attention : il existe des parties de (0,1] non dénombrables de mesure nulle. En revanche, je n'ai aucune idée de ce que pourrait être un ensemble dense dans [0,1] non dénombrable et de mesure nulle. Ca existe ?
Ce que je peux être bête. C'est bon, j'ai trouvé, il suffisait de faire l'union de mon ensemble et que lQ inter [0,1].
Donc il existe des ensembles denses dans [0,1], non dénombrables, de mesure nulle. En revanche, tout ensemble de mesure non nulle est non dénombrable. Sur [0,1], il n'y a pas équivalence entre la comparaison des mesures (probabilité de tomber sur mon ensemble en choisissant un réel au hasard sur [0,1]) et des cardinaux. Donc la définition de "plus dense que", en plus d'être d'un intérêt douteux, est loin d'être claire...
mais tu fais une division de cardinaux infinis, ça a un sens?J'aimerais bien avoir une référence précise sur le sujet de la division des cardinaux infinis, parce que, bêtement, deOui, cela a un sens, on note :
, j'aurais tendance à en déduire :
Les opérations sur les cardinaux ne sont pas régies par des lois habituelles (de groupe,anneau..), genre 0*N1=0 etc.J'aimerais bien avoir une référence précise sur le sujet de la division des cardinaux infinis, parce que, bêtement, de
On a par exemple
Je suis honnête pour te dire que je ne maîtrise pas la théorie des cardinaux comme certains de ce forum, et il serait plaisant qu'un Gwyddon,Médiat ou autre homotopie () intervienne, pour en dire un peu plus que moi sur les opérations sur les cardinaux.
Je sais pertinemment que les opérations sur les cardinaux sont très particulières, par exempleLes opérations sur les cardinaux ne sont pas régies par des lois habituelles (de groupe,anneau..), genre 0*N1=0 etc.
On a par exemple
Je suis honnête pour te dire que je ne maîtrise pas la théorie des cardinaux comme certains de ce forum, et il serait plaisant qu'un Gwyddon,Médiat ou autre homotopie (
En je n'ose pas dire combien de carrière, c'est la première fois que je rencontre une division de cardinaux, donc je me demandais si tu avais vu dans un bouquin une telle théorie, qui m'aurait échappée, ou si tu prenais l'initiative d'introduire une division des cardinaux.
En fait, c'est la définition même du quotient de deux cardinaux infinis que je voudrais connaître.
Est ce qu'on peut pas calculer ces probabilités en utilisant la densité de probablité de gaussienne?!! j'ai pensé à ça car on a bien une distribution infnie des rationnels et des irrationnels!!!
c'est juste une proposition je j'y penserai après
pareil je n'ai jammais vu de division de cardinaux et je trouve ca tres bizzard.
accesoirement, je pinaille un peu, mais le cardinal de R n'est pas Aleph1, card(R)=2^aleph0, le fait de savoir si 2^aleph0=Aleph1 est un indécidable de le théorie des ensemble. (cf hypothèse du continu)
oui mais mais en général on accepte l'hypothèse du continu et donc 2^aleph0=Aleph1, à part si on fait de l'analyse non standard, non?
Réflexe immédiat, je ne vois pas le rapport entre l'analyse non standard et l'hypothèse du continu, mais il est possible qu'elle intervienne fondamentalement dans ce domaine dont je ne suis pas spécialiste.
Dans la vie de tous jours, le mathématicien moyen ne se préoccupe pas trop de savoir comment son univers de travail gère la relation entre
Hello,
Je suis moi aussi étonné de cette division, comment la définit-on dans le cadre de la théorie des ensembles ?
Non, en général on ne dit rien sur l'hypothese du continu, essentiellement parce qu'on en a pas vraiment besoin (tu confonds avec l'axiome du choix ?). (NB sans rentrer dans les details, l'hypothese du continu serait "plutot fausse", en ce sens que certains axiomes "raisonnables" impliquent qu'elle est fausse).
Pour le coup de la division de cardinaux, c'est idem, jamais vu ca et a mon avis c'est pas génial. Il vaut mieux se contenter de dire qu'en tirant un reel, on tombera sur un rationnel presque surement, cad rester dans le domaine des probas (ou de la theorie de la mesure) qui donnent le cadre rigoureux pour ce genre de trucs.
Pas à ma connaissance, les deux questions sont complètement décorrelées.
PS : j'éprouve les mêmes réserve sur la division des cardinaux transfinis (je ne m'en suis jamais servi), mais on peut noter que la division euclidienne se prolonge naturellement aux ordinaux transfinis, les cardinaux pouvant être vus commes des ordinaux particuliers, il n'y a pas de raison de penser qu'une telle division n'a pas de sens, par contre on peut se demander quel est l'intérêt d'écrire
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci à tous pour vos corrections et précisions éclairantes.
c'est un prof de td de théorie de la mesure qui nous avait parlé un peu de l'hypothèse du continu et qui nous avait dit anecdotiquement que certains refusait cet axiome et trouvait des résultats intéressants en analyse non standard, du coup j'ai naturellement associe dans ma tête cet axiome à ce domaine.
