Ordre dense sans extremums

[Médiat]

Bonjour,

Quelqu'un saurait-il s'il existe une bijection croissante

Merci.
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[invite986312212]

je crois qu'on peut montrer facilement qu'il n'y a pas de bijection croissante de R dans R-{0}.

[Médiat]

je crois qu'on peut montrer facilement qu'il n'y a pas de bijection croissante de R dans R-{0}.

Depuis hier que je me pose la question, cela ne me paraît pas si simple que cela .
As-tu une idée de la démonstration ?

[Gwyddon]

Mmh.. On peut pas s'en sortir avec la connexité ? Cette bijection ne doit pas être continue déjà...

(je lance ici des idées, peut-être débiles...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite986312212]

montrer que, si est une telle bijection, alors et ne peut être ni positif ni négatif (?)

[Médiat]

Mmh.. On peut pas s'en sortir avec la connexité ? Cette bijection ne doit pas être continue déjà...

Oui, mais la continuité n'est pas requise

(je lance ici des idées, peut-être débiles...)

Je suis preneur de toutes les idées, j'en ai déjà eu de pires

[Médiat]

montrer que, si est une telle bijection, alors et ne peut être ni positif ni négatif (?)

Quelle propriété utilises-tu pour dire que ? Est-ce que ce ne serait pas la continuité ?

[invite986312212]

En fait j'ai l'impression qu'il y a un lien fort entre croissance et continuité pour des fonctions réelles.
Soient et
. On a . Si on prend un quelque-part entre les deux. Son image est soit positive soit négative. Si elle est positive, il y a un 1/n plus petit: contradiction. qu'en penses-tu?

[Médiat]

En fait j'ai l'impression qu'il y a un lien fort entre croissance et continuité pour des fonctions réelles.

Sans la condition de bijectivité, clairement non, avec la bijectivité, je crois (et cela ne vaut pas grand-chose) qu'il y a un lien effectivement.

Soient et
. On a . Si on prend un quelque-part entre les deux. Son image est soit positive soit négative. Si elle est positive, il y a un 1/n plus petit: contradiction. qu'en penses-tu?

Et si n'existe pas ?

Je t'avoue que la direction prise dans ta démonstration me gène un peu, car comme tu n'utilises que des rationels, elle devrait marcher aussi pour des bijections croissantes entre et , or dans ce cas c'est possible (on peut la construire à la main), d'ailleurs "on sent bien" que privé d'un point doit être pareil que , alors que pour ce n'est pas si évident.

[invite986312212]

Et si n'existe pas ?

mais justement il existe: c'est l'un des axiomes dans la définition de R (ce qui le différencie de Q)

[invite986312212]

d'ailleurs on peut dire que s'il existait une bijection croissante entre R et R-{0} ils seraient isomorphes en tant qu'ensembles ordonnées (parce que la bijection réciproque serait évidemment croissante elle aussi). Or R-{0} ne vérifie pas l'axiome de la borne supérieure donc ne peut être isomorphe à R (version pédantiforme de la démonstration précédente).
Ca doit s'appliquer à R et R-Q.

[Médiat]

mais justement il existe: c'est l'un des axiomes dans la définition de R (ce qui le différencie de Q)

Es-tu sur que cela marche toujours :
f(x) = -1/x pour x < 0, l'image réciproque de {-1/n | n dans IN } est IN, qui n'a pas de borne sup.

[Médiat]

d'ailleurs on peut dire que s'il existait une bijection croissante entre R et R-{0} ils seraient isomorphes en tant qu'ensembles ordonnées (parce que la bijection réciproque serait évidemment croissante elle aussi). Or R-{0} ne vérifie pas l'axiome de la borne supérieure donc ne peut être isomorphe à R (version pédantiforme de la démonstration précédente).
Ca doit s'appliquer à R et R-Q.

En fait c'est là le fond de ma question .

L'axiome de la borne supérieure s'exprime-t-il dans le langage de la logique du premier ordre ?

[invite986312212]

Es-tu sur que cela marche toujours

est croissante donc est majoré par par exemple.

[Médiat]

Merci ambrosio, après décantation je suis convaincu ; je cherchais bêtement une formule du premier ordre pour distinguer les deux ensembles, ce qui était voué à l'échec, puisque la théorie des ordres denses sans extremums est complète.

L'axiome de la borne supérieure s'exprime-t-il dans le langage de la logique du premier ordre ?

Je me réponds à moi-même : non, cf. ci-dessus.

Merci encore.

Médiat